62、解决离散对数问题的量子算法

解决离散对数问题的量子算法

1. 理想类算法概述

在虚二次域的理想类群计算中，每个等价类包含唯一的约化理想，可利用该理想代表等价类，这种表示具有简短且唯一的优点，对于量子离散对数算法而言，唯一性是必要条件。理想类群的乘法按经典方式进行，先合成两个理想类的约化代表，再对结果理想进行约化。为减少工作量子比特数，需重新安排经典算法。每次约化步骤会得到归一化因子 $s$，该因子对约化算法的可逆性至关重要，会将其存储在寄存器 $p$ 和 $q$ 中。

在算法描述中，$|x⟩$ 表示包含 $x$ 的量子寄存器，若 $x$ 为经典给定，则直接写为 $x$。

2. 具体算法介绍

2.1 合成算法（Composition）

• 输入 ：$|a_1⟩, |b_1⟩, a_2, b_2, Δ$，其中 $(a_1, b_1)$ 和 $(a_2, b_2)$ 是二次数域的约化 $O_Δ$-理想。
• 输出 ：$|a⟩, |b⟩, |a_1⟩, |b_1⟩$，使得 $(a, b) = (a_1, b_1) ⋆(a_2, b_2)$ 且 $0 ≤b < 2a$。
• 步骤 ：
  1. 使用 $XGCD, XGCD†, XGCD$ 计算 $j_1, j_2, m_1, m$，满足 $j_1a_2 + k_1a_1 = m_1 = gcd(a_2, a_1)$ 且 $j_2m_1 + l \frac{b_1 + b_2}{2} = m = gcd(m_1, \frac{b_1