10、汉诺塔图相关问题的深入解析

汉诺塔图相关问题的深入解析

1. 规则状态间的问题定义与基本性质

在汉诺塔图 (H_n^3) 中，由于其连通性和对应的距离函数 (d)，自然引出了新的问题类型 (P2)，即从任意规则初始状态 (s) 到任意规则目标状态 (t) 的任务，也就是要找到 (H_n^3) 中任意两个顶点之间的（最短）路径及其距离 (d(s,t))。其中，最坏情况仍是经典的完美状态到完美状态的任务，有定理表明 (\forall n \in N_0 \colon diam(H_n^3) = 2^n - 1)。

不过，前面证明中隐含的路径通常并非最短。例如，若 (i = j)，则 (d(is,jt) = d(s,t) \leq 2^n - 1 < 2^{n + 1} - 1)，这是“拳击手规则”的直接结果。“拳击手规则”指出，在 (H_{1 + n}^3)（(n \in N_0)）的测地线上，若最大圆盘从某个 peg 移开，它不会再回到该 peg。

为后续讨论，定义了两个重要符号：对于 (H_{1 + n}^3) 的顶点 (is \in T^{1 + n}) 且 ({i,j,k} = T)，有 (d(s;j,k) \colon= d(s,j^n) - d(s,k^n)) 和 (d(is) \colon= |d(s;j,k)| \in [2^n]_0)。

2. 顶点离心率相关性质

对于 (s \in T^n)，(n \in N_0) 且 ({i,j,k} = T)，顶点 (is) 的离心率 (\varepsilon(is)) 满足 (\varepsilon(is) = max{d(is,j^{1 + n}),d(is,k^{1 + n})} = 2^{n + 1