11、汉诺塔问题深入解析：从经典到不规则状态

汉诺塔问题深入解析：从经典到不规则状态

1. 经典汉诺塔问题相关结论

经典汉诺塔问题中，对于一些特定任务有相关的移动步数结论。例如，$X_n$ 的直径至少为 $2\cdot2^n$，这源于 Šunić 的结果，即任务 $0^n →0^{n - 1}1 ∥0^{n - 1}1 →0^{n - 1}2$ 的最优解在 $n ≥3$ 时恰好需要 $2 \cdot2^n$ 步（$n = 2$ 时不满足此结论，如图 2.28 中 $n = 2$ 的解需 6 步）。对于任务 $0^n →2^n ∥2^n →0^n$，有文献构造出的解在 $n ≥2$ 时需要 $\frac{1}{3}(2^{n + 2} - (-1)^n)$ 步，并且推测这个步数是最优的。

同时，还给出了一系列练习题，涵盖了对公式的验证、命题的证明、算法正确性的证明等多个方面，具体如下：
|序号|题目内容|
| ---- | ---- |
|2.1|验证方程 (2.1)|
|2.2|不参考格罗斯序列证明命题 2.2|
|2.3|证明奥利弗算法的正确性|
|2.4|证明序列 $h$ 和 $o$ 都不是强无平方因子序列|
|2.5|使用命题 2.3 描述从 peg 0 上的塔到 peg 2 上的塔的最短路径的人类算法（即不需要大量长期记忆的算法）|
|2.6|设 $a_n$ 为经典汉诺塔任务中 $n$ 个圆盘的最优解里中间 peg 上圆盘的合法排列数，证明 $a_n = F_{n + 1}$（$F_k$ 为斐波那契数，$F_0 = 0$，$F_1 = 1$，$F_k = F_{k - 1} + F_{k - 2}$，$k ≥2$）|
|2.7|证明命题 2.4|