4、数学世界的开端与经典谜题探索

数学世界的开端与经典谜题探索

1. 三角数与可数性

高斯年少时可能通过数值实验就知晓了相关公式。十年后，他证明了费马提出的一个关于三角数的猜想，即每个自然数都能写成三个（不一定相等）三角数之和，该证明可在高斯的《算术研究》中找到。这表明解决一个猜想可能需要很长时间。

每个 (n \in N_0) 都可写成 (n = \Delta_{\nu} + x) 的形式，其中 (\nu = \lfloor\frac{\sqrt{8n + 1} - 1}{2}\rfloor)。通过这个式子，映射 (n \mapsto \frac{1 + x}{1 + \nu - x}) 是从 (N_0) 到所有正分数集合的双射，这是康托尔用于证明有理数集 (Q) 可数的第一个对角线方法。他的第二个对角线方法可用于证明实数集 (R) 不可数。

2. 商集

2.1 等价关系

图的边反映了对应顶点之间的某种关联，边集可看作顶点集上的一种关联。图是由集合 (V) 和其上的关联 (E) 组成的对 (G = (V, E))。

等价关系的概念源于欧几里得的《几何原本》的第一条公理：等于同一个事物的事物彼此相等。这种相等性是数学和日常生活中等价关系的原型。

• 定义 ：设 (V) 是一个集合，((V^2)) 的子集 (E) 是传递的，如果 (\forall{x, y, z} \in (V^3) : {x, z}, {y, z} \in E \Rightarrow {x, y} \in E)，这样的传递关联称为 (V) 上的等价关系。
• 等价类