4、数学世界的开端与经典谜题的探索

数学世界的开端与经典谜题的探索

1. 高斯与三角数

高斯年少时可能通过数值实验就知晓了相关公式。在学校故事发生十年后，高斯在科学日记中记录了一个关于三角数的深刻结果：他证明了费马提出的每个自然数都能写成三个（不一定相等）三角数之和的猜想。这显示出解决一个猜想可能需要很长时间。

从数学角度来看，每个 (n \in N_0) 都能写成 (n = \Delta_{\nu} + x) 的形式，其中 (\nu = \lfloor \frac{\sqrt{8n + 1} - 1}{2} \rfloor)。通过这个表达式，映射 (n \mapsto \frac{1 + x}{1 + \nu - x}) 是从 (N_0) 到所有正分数集合的双射，这是康托尔用于证明有理数集 (Q) 可数的第一个对角线方法。而他的第二个对角线方法可用于证明实数集 (R) 不可数。

2. 商集与等价关系

在图论中，图的边反映了对应顶点之间的某种关联，边集可看作顶点集上的一种关联。为了精确描述图的同构概念，我们需要引入等价关系。

• 等价关系的定义 ：以欧几里得《几何原本》的第一公理“等于同一件事物的事物彼此相等”为原型，在数学中，若集合 (V) 的子集 (E) 满足 (∀{x,y,z} \in (V^3) \colon {x,z},{y,z} \in E \Rightarrow {x,y} \in E)，则称 (E) 是传递的，传递的关联称为等价关系。若 (E) 是 (V) 上的等价关系，当 (x = y) 或 ({x,y} \in E) 时，称 (x) 和 (y) 关于 (E) 等价，记为 (x \approx y)。 </