16、偏序基语义下的集合比较与认知状态表示

偏序基语义下的集合比较与认知状态表示

1. 集合比较基础

在比较部分有序元素的集合时，我们从一个偏序集 $(S, ≥)$ 出发，考虑由 $≥$ 诱导出的用于比较 $S$ 子集的关系 $≻$。在表示比较信念和似然性的范畴内，我们聚焦于乐观比较。在全序情况下等价的乐观主导的两种定义，在偏序情况下不再等价，这就需要我们研究不同关系并根据其满足的属性选择合适的关系。

对于偏序集 $(S, ≥)$，有如下定义：
- $s′ > s$ 是 “$(s′ ≥ s)$ 且非 $(s ≥ s′)$” 的缩写，$>$ 是由 $≥$ 确定的严格偏序，是 $S$ 上的非自反和传递关系。
- $s′ ∼ s$ 是 “$(s′ ≥ s)$ 且 $(s ≥ s′)$” 的缩写，$∼$ 是由 $≥$ 确定的等价关系。
- $s′ ≉ s$ 是 “既非 $(s′ ≥ s)$ 也非 $(s ≥ s′)$” 的缩写，是由 $≥$ 确定的不可比关系。若此关系为空，则 $≥$ 是全预序。

设 $(S, ≥)$ 是偏序集，$X ⊆ S$，$s ∈ X$ 是 $X$ 中关于 $≥$ 的最大元素，当且仅当对于任意 $s′ ∈ X$，都有 $s′ \ngtr s$。$M(X, ≥)$（简记为 $M(X)$）表示 $X$ 中根据 $≥$ 的最大元素集合。乐观比较 $A$ 和 $B$ 基于 $M(A)$ 和 $M(B)$ 的比较，在偏序情况下分为弱乐观主导和强乐观主导。

2. 弱乐观主导

弱乐观主导根据是否从严格顺序出发有不同定义：
- 弱乐观严格主导 ：$A ≻ {wos} B$ 当且仅当