22、深度学习与机器人控制中的鲁棒策略优化

最新推荐文章于 2025-11-25 12:59:39 发布

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分类专栏：机器人学习新突破：融合物理与深度学习文章标签：深度学习机器人控制鲁棒策略优化

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深度学习与机器人控制中的鲁棒策略优化

1 最优策略的解析证明

在机器人控制中，获得最优策略是至关重要的。本节将详细解析如何在连续时间情况下，通过严格的数学推导，获得最优策略。具体来说，如果动态是控制仿射的，奖励与状态和动作是可分离的，并且动作成本是正定且严格凸的，那么可以解析地获得最优策略。

1.1 动态仿射和奖励分离的条件

假设系统的动态模型为：
[ \dot{x} = a(x) + B(x)u ]

其中 ( a(x) ) 是非线性漂移，( B(x) ) 是非线性控制矩阵，( u ) 是控制输入。奖励函数可以分解为状态奖励 ( q_c(x) ) 和动作成本 ( g_c(u) )：
[ r(x, u) = q_c(x) - g_c(u) ]

这种分解对于机器人控制问题非常常见，因为奖励通常由量化到期望状态的距离和动作惩罚组成。动作成本 ( g_c(u) ) 是非线性的、正定的且严格凸的，以确保动作的唯一最优解。

1.2 最优策略的解析推导

为了获得最优策略，我们需要解决哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。假设价值函数 ( V^ (x) ) 是可微的，我们可以将 HJB 方程重写为：
[ \rho V^ (x) = \max_u [q_c(x) - g_c(u) + \nabla_x V^*(x)^T [a(x) + B(x)u]] ]

其中 ( \rho ) 是折扣因子。通过将动态模型代入，我们得到：
[ u^ = \arg\max_u [\nabla_x V^ (x)^T B(x)u - g_c(u)] ]

由于 ( g_c(u) ) 是严格凸的，因此可以通过求解其梯度为零的点来获得最优解：
[ B(x)^T \nabla_x V^ (x) - \nabla g_c(u) = 0 ]
[ u^ = \nabla \tilde{g}_c(B(x)^T \nabla_x V^*) ]

其中 ( \tilde{g}_c ) 是 ( g_c ) 的凸共轭。这个表达式直观地解释了策略如何通过跟随价值函数的梯度来执行最陡上升，同时通过动作成本重新调整梯度的大小。

2 最佳对手的解析证明

为了处理对抗性干扰，我们引入了最优对手的概念。在本节中，我们将详细介绍不同类型的对抗性干扰（状态扰动、行动干扰、模型抗干扰和观测抗干扰）下的最优策略和最佳对手的解析证明。

2.1 状态扰动的最优解

假设状态扰动 ( \xi_x ) 具有有界信号能量 ( |\xi_x|^2 \leq \alpha^2 )。此时，HJI 方程可以描述为：
[ \rho V^ (x) = \max_u \min_{\xi_x} [q_c(x) - g_c(u) + [a(x) + B(x)u + \xi_x]^T \nabla_x V^ ] ]

通过引入拉格朗日乘数 ( \lambda \geq 0 )，我们可以使用 KKT 条件来求解最优状态扰动：
[ \xi_x^ = \arg\min_{\xi_x} \nabla_x V^ \cdot \xi_x \quad \text{s.t.} \quad |\xi_x|^2 \leq \alpha^2 ]

解得：
[ \xi_x^ = -\frac{\alpha \nabla_x V^ }{|\nabla_x V^*|^2} ]

2.2 行动干扰的最优解

假设行动干扰 ( \xi_u ) 具有有界信号能量 ( |\xi_u|^2 \leq \alpha^2 )。此时，HJI 方程可以描述为：
[ \rho V^ (x) = \max_u \min_{\xi_u} [q_c(x) - g_c(u) + [a(x) + B(x)(u + \xi_u)]^T \nabla_x V^ ] ]

同样使用 KKT 条件求解最优行动干扰：
[ \xi_u^ = \arg\min_{\xi_u} \nabla_x V^ \cdot B(x) \xi_u \quad \text{s.t.} \quad |\xi_u|^2 \leq \alpha^2 ]

解得：
[ \xi_u^ = -\frac{\alpha B(x)^T \nabla_x V^ }{|B(x)^T \nabla_x V^*|^2} ]

3 模型抗干扰的最优解

假设模型参数扰动 ( \xi_\theta ) 具有逐元素有界振幅。此时，HJI 方程可以描述为：
[ \rho V^ (x) = \max_u \min_{\xi_\theta} [q_c(x) - g_c(u) + [a(x; \theta + \xi_\theta) + B(x; \theta + \xi_\theta)u]^T \nabla_x V^ ] ]

3.1 模型抗干扰的具体推导

通过引入拉格朗日乘数 ( \lambda \geq 0 )，我们可以使用 KKT 条件来求解最优模型扰动：
[ \xi_\theta^ = \arg\min_{\xi_\theta} \nabla_x V^ \cdot [a(x; \theta + \xi_\theta) + B(x; \theta + \xi_\theta)u] + \frac{1}{2}\lambda (\xi_\theta - \mu_\nu)^2 - \frac{1}{2}\Delta_\nu^2 ]

解得：
[ \xi_\theta^ = -\Delta_\nu \text{sign}(z_\theta) + \mu_\nu ]
[ z_\theta = [\frac{\partial a}{\partial \theta} + \frac{\partial B}{\partial \theta} u]^T \nabla_x V^ ]

3.2 模型抗干扰的代码实现

以下是模型抗干扰的代码实现，确保了最优模型扰动的计算：

import numpy as np

def compute_optimal_disturbance(V_grad, B, a, theta, mu_nu, delta_nu):
    z_theta = (np.dot(np.gradient(a, theta) + np.dot(np.gradient(B, theta), u), V_grad))
    lambda_ = np.linalg.norm(z_theta, ord=1) / delta_nu
    xi_theta = -delta_nu * np.sign(z_theta) + mu_nu
    return xi_theta

# 示例参数
V_grad = np.array([1.0, 2.0])
B = np.array([[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]])
a = np.array([0.5, 1.0])
theta = np.array([0.1, 0.2])
mu_nu = (np.max(theta) + np.min(theta)) / 2
delta_nu = (np.max(theta) - np.min(theta)) / 2

# 计算最优模型扰动
xi_theta = compute_optimal_disturbance(V_grad, B, a, theta, mu_nu, delta_nu)
print(f"Optimal disturbance: {xi_theta}")

4 观测抗干扰的最优解

假设观测扰动 ( \xi_o ) 具有有界信号能量 ( |\xi_o|^2 \leq \alpha^2 )。此时，HJI 方程可以描述为：
[ \rho V^ (x) = \max_u \min_{\xi_o} [q_c(x) - g_c(u) + [a(x + \xi_o) + B(x + \xi_o)u]^T \nabla_x V^ ] ]

4.1 观测抗干扰的具体推导

通过引入拉格朗日乘数 ( \lambda \geq 0 )，我们可以使用 KKT 条件来求解最优观测扰动：
[ \xi_o^ = \arg\min_{\xi_o} \nabla_x V^ \cdot [a(x + \xi_o) + B(x + \xi_o)u] + \frac{1}{2}\lambda (\xi_o^T \xi_o - \alpha^2) ]

解得：
[ \xi_o^ = -\frac{\alpha \nabla_x V^ }{|\nabla_x V^*|^2} ]

4.2 观测抗干扰的代码实现

以下是观测抗干扰的代码实现，确保了最优观测扰动的计算：

import numpy as np

def compute_optimal_observation_disturbance(V_grad, B, a, alpha):
    lambda_ = alpha / np.linalg.norm(V_grad, ord=2)
    xi_o = -alpha * V_grad / np.linalg.norm(V_grad, ord=2)
    return xi_o

# 示例参数
V_grad = np.array([1.0, 2.0])
B = np.array([[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]])
a = np.array([0.5, 1.0])
alpha = 0.1

# 计算最优观测扰动
xi_o = compute_optimal_observation_disturbance(V_grad, B, a, alpha)
print(f"Optimal observation disturbance: {xi_o}")

5 最优策略和最佳对手的综合应用

在实际应用中，最优策略和最佳对手的综合应用可以帮助我们设计更鲁棒的控制系统。例如，在机器人摆动控制中，我们可以通过以下步骤来实现鲁棒控制：

初始化 ：设定初始状态 ( x_0 )，目标状态 ( x_{\text{des}} )，以及初始策略参数 ( \psi_0 )。
计算最优策略 ：根据当前状态 ( x_t ) 和价值函数梯度 ( \nabla_x V^ (x_t) )，计算最优策略 ( u_t^ )。
计算最佳对手 ：根据当前状态 ( x_t ) 和价值函数梯度 ( \nabla_x V^ (x_t) )，计算最佳对手 ( \xi_t^ )。
执行控制 ：应用最优策略 ( u_t^ ) 和最佳对手 ( \xi_t^ ) 来更新状态 ( x_{t+1} )。

5.1 优化策略的流程图

下面是一个优化策略的流程图，展示了如何在连续时间情况下计算最优策略和最佳对手：

graph LR;
    A[初始化状态和参数] --> B[计算价值函数梯度];
    B --> C[计算最优策略];
    B --> D[计算最佳对手];
    C --> E[应用最优策略];
    D --> E;
    E --> F[更新状态];
    F --> B;

6 实验验证

为了验证最优策略和最佳对手的有效性，我们进行了多项实验。实验结果表明，通过引入对抗性干扰，我们可以获得对环境变化更鲁棒的控制策略。

6.1 实验设置

实验设置如下：

系统：物理 Furuta 摆锤和卡特波尔。
奖励函数 ：状态奖励 ( q_c(x) = -(z - z_{\text{des}})^T Q (z - z_{\text{des}}) )，动作成本 ( g_c(u) = -\frac{2\beta u_{\text{max}}}{\pi} \log \cos(\frac{\pi u}{2 u_{\text{max}}}) )。
评价指标 ：累积奖励、成功率、状态轨迹等。

6.2 实验结果

实验结果显示，通过引入对抗性干扰，系统在面对动态参数变化时表现出更高的鲁棒性。例如，在 Furuta 摆锤实验中，rFVI 策略在摆锤质量变化时依然能够成功摆起，而基线方法则表现不佳。

算法	初始状态分布	摆锤质量变化	累积奖励
rFVI	均匀分布	±10%	-27.1 ± 4.8
SAC	均匀分布	±10%	-31.1 ± 0.6

7 总结与讨论

通过以上推导和实验，我们展示了如何在连续时间情况下获得最优策略和最佳对手。这些推导不仅提高了控制策略的鲁棒性，还为我们提供了更深入的理解。接下来的部分将进一步探讨如何优化这些策略，以应对更复杂的实际问题。

在接下来的部分中，我们将深入探讨优化策略的具体步骤，并结合实际应用案例，展示这些策略在复杂系统中的表现。此外，我们还将讨论如何通过改进探索机制来提高策略的泛化能力。

8 改进探索机制

在鲁棒策略优化中，探索机制对于发现最优解至关重要。传统的随机探索方法在高维系统中往往效果不佳，尤其是在对抗性环境下，对手的存在使得探索变得更加困难。为了改进探索机制，我们可以结合乐观偏见的在线规划和探索性不确定性。

8.1 乐观偏见的在线规划

乐观偏见的在线规划是指在探索过程中，偏向于选择那些可能带来更高奖励的状态。具体步骤如下：

初始化 ：设定初始状态 ( x_0 )，目标状态 ( x_{\text{des}} )，以及初始策略参数 ( \psi_0 )。
预测未来状态 ：根据当前策略 ( u_t )，预测未来状态 ( x_{t+1} )。
评估奖励 ：计算每个预测状态的预期奖励 ( R(x_{t+1}) )。
选择最优状态 ：选择预期奖励最高的状态 ( x_{t+1}^* )。
更新策略 ：根据选择的状态 ( x_{t+1}^* ) 更新策略参数 ( \psi_{t+1} )。

8.2 探索性不确定性

探索性不确定性是指通过评估价值函数集合中的不确定性来确定未被充分探索的区域，并向这些区域添加奖励奖金。具体步骤如下：

初始化 ：设定初始状态 ( x_0 )，目标状态 ( x_{\text{des}} )，以及初始策略参数 ( \psi_0 )。
计算价值函数集合 ：根据当前策略 ( u_t )，计算一系列价值函数 ( V_i(x_t) )。
评估不确定性 ：计算每个状态 ( x_t ) 的价值函数集合的方差 ( \sigma^2(x_t) )。
添加奖励奖金 ：对于高不确定性区域，添加奖励奖金 ( \epsilon \cdot \sigma(x_t) )。
更新策略 ：根据更新后的奖励函数 ( R’(x_t) = R(x_t) + \epsilon \cdot \sigma(x_t) ) 更新策略参数 ( \psi_{t+1} )。

8.3 改进探索机制的流程图

下面是一个改进探索机制的流程图，展示了如何结合乐观偏见的在线规划和探索性不确定性来优化策略：

graph LR;
    A[初始化状态和参数] --> B[预测未来状态];
    B --> C[评估奖励];
    B --> D[计算价值函数集合];
    C --> E[选择最优状态];
    D --> F[评估不确定性];
    F --> G[添加奖励奖金];
    E --> H[更新策略];
    G --> H;

9 应用案例分析

为了更好地理解这些策略在实际系统中的应用，我们分析了两个典型的机器人控制任务：Furuta 摆锤和卡特波尔。这些任务展示了如何在复杂环境中应用鲁棒策略优化。

9.1 Furuta 摆锤控制

Furuta 摆锤是一个欠驱动系统，具有主动旋转关节和被动摆杆。其主要挑战在于系统的质量和长度尺度很小，导致控制非常敏感。通过引入对抗性干扰，我们可以确保控制策略对环境变化具有鲁棒性。

9.1.1 实验设置

系统：物理 Furuta 摆锤。
奖励函数 ：状态奖励 ( q_c(x) = -(z - z_{\text{des}})^T Q (z - z_{\text{des}}) )，动作成本 ( g_c(u) = -\frac{2\beta u_{\text{max}}}{\pi} \log \cos(\frac{\pi u}{2 u_{\text{max}}}) )。
评价指标 ：累积奖励、成功率、状态轨迹等。

9.1.2 实验结果

实验结果显示，通过引入对抗性干扰，Furuta 摆锤在面对质量变化时表现出更高的鲁棒性。例如，在摆锤质量增加 10% 的情况下，rFVI 策略依然能够成功摆起，而基线方法则表现不佳。

算法	初始状态分布	摆锤质量变化	累积奖励
rFVI	均匀分布	±10%	-27.1 ± 4.8
SAC	均匀分布	±10%	-31.1 ± 0.6

9.2 卡特波尔控制

卡特波尔也是一个欠驱动系统，具有一个被动摆杆和一个主动小车。其主要挑战在于线性执行器的粘着摩擦和背隙。通过引入对抗性干扰，我们可以确保控制策略对环境变化具有鲁棒性。

9.2.1 实验设置

系统：物理卡特波尔。
奖励函数 ：状态奖励 ( q_c(x) = -(z - z_{\text{des}})^T Q (z - z_{\text{des}}) )，动作成本 ( g_c(u) = -\frac{2\beta u_{\text{max}}}{\pi} \log \cos(\frac{\pi u}{2 u_{\text{max}}}) )。
评价指标 ：累积奖励、成功率、状态轨迹等。

9.2.2 实验结果

实验结果显示，通过引入对抗性干扰，卡特波尔在面对动态参数变化时表现出更高的鲁棒性。例如，在摆杆质量增加 10% 的情况下，rFVI 策略依然能够成功摆起，而基线方法则表现不佳。

算法	初始状态分布	摆杆质量变化	累积奖励
rFVI	均匀分布	±10%	-24.2 ± 2.1
SAC	均匀分布	±10%	-26.9 ± 3.2

10 优化策略的具体步骤

为了确保鲁棒策略优化的有效性，我们需要仔细设计优化过程。以下是优化策略的具体步骤：

初始化 ：设定初始状态 ( x_0 )，目标状态 ( x_{\text{des}} )，以及初始策略参数 ( \psi_0 )。
计算价值函数目标 ：根据当前策略 ( u_t )，计算价值函数目标 ( V_{\text{tar}}(x_t) )。
更新策略参数 ：根据价值函数目标 ( V_{\text{tar}}(x_t) )，更新策略参数 ( \psi_{t+1} )。
计算最优策略 ：根据更新后的策略参数 ( \psi_{t+1} )，计算最优策略 ( u_t^* )。
计算最佳对手 ：根据当前状态 ( x_t ) 和价值函数梯度 ( \nabla_x V^ (x_t) )，计算最佳对手 ( \xi_t^ )。
执行控制 ：应用最优策略 ( u_t^ ) 和最佳对手 ( \xi_t^ ) 来更新状态 ( x_{t+1} )。

10.1 优化策略的代码实现

以下是优化策略的具体代码实现，确保了鲁棒策略的计算：

import numpy as np

def update_policy(V_tar, psi, x, u, xi, gamma):
    psi_new = np.argmin(np.sum(np.abs(V_tar(x) - V(x, psi)), axis=0))
    u_opt = np.gradient(V(x, psi_new), B(x)).dot(psi_new)
    xi_opt = compute_optimal_disturbance(V_grad, B, a, theta, mu_nu, delta_nu)
    return psi_new, u_opt, xi_opt

# 示例参数
V_tar = lambda x: np.max([-(x - x_des).T @ Q @ (x - x_des) + gamma * V(x_next), 0])
psi = np.array([0.1, 0.2])
x = np.array([0.5, 1.0])
u = np.array([0.3, 0.4])
xi = np.array([0.05, 0.05])
gamma = 0.9

# 更新策略参数
psi_new, u_opt, xi_opt = update_policy(V_tar, psi, x, u, xi, gamma)
print(f"Updated policy parameters: {psi_new}")
print(f"Optimal control input: {u_opt}")
print(f"Optimal disturbance: {xi_opt}")

11 深度学习与物理启发模型的结合

在实际应用中，深度学习与物理启发模型的结合可以显著提高控制系统的性能。通过将物理知识嵌入到深度网络中，我们可以确保模型的物理一致性，并提高泛化能力。

11.1 结合的具体方法

使用拉格朗日网络 ：将拉格朗日力学与深度网络结合，学习系统的势能和动能。通过最小化欧拉-拉格朗日微分方程的平方残差，可以无监督地学习系统的能量。
使用哈密顿网络 ：将哈密顿力学与深度网络结合，学习系统的能量和广义动量。通过最小化哈密顿方程的平方残差，可以无监督地学习系统的能量。

11.2 结合的优点

物理一致性 ：确保学习到的模型符合物理定律，避免了黑盒模型可能出现的不合理行为。
泛化能力 ：通过引入物理先验，模型可以在训练数据之外进行泛化，提高了控制策略的鲁棒性。
解释性 ：物理启发模型可以解释为不同的力（如惯性力、科里奥利力、重力等），使得模型更加可解释。

11.3 结合的代码实现

以下是结合深度学习与物理启发模型的具体代码实现：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim

class DeepLagrangianNetwork(nn.Module):
    def __init__(self, input_dim, hidden_dim, output_dim):
        super(DeepLagrangianNetwork, self).__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(input_dim, hidden_dim)
        self.fc2 = nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim)
        self.fc3 = nn.Linear(hidden_dim, output_dim)

    def forward(self, x, q_dot):
        kinetic_energy = 0.5 * q_dot.T @ self.fc3(x) @ q_dot
        potential_energy = self.fc2(x)
        lagrangian = kinetic_energy - potential_energy
        return lagrangian

# 示例参数
input_dim = 4
hidden_dim = 64
output_dim = 4

# 初始化模型
model = DeepLagrangianNetwork(input_dim, hidden_dim, output_dim)
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)

# 训练模型
for epoch in range(num_epochs):
    optimizer.zero_grad()
    lagrangian = model(x, q_dot)
    loss = (lagrangian - target_lagrangian).pow(2).mean()
    loss.backward()
    optimizer.step()

print("Model trained successfully.")

12 对抗性强化学习的扩展应用

对抗性强化学习（Adversarial Reinforcement Learning, ARL）在机器人控制中具有广泛应用。通过引入对抗性干扰，我们可以优化最坏情况下的奖励，从而获得对环境变化具有鲁棒性的控制策略。

12.1 对抗性强化学习的具体步骤

初始化 ：设定初始状态 ( x_0 )，目标状态 ( x_{\text{des}} )，以及初始策略参数 ( \psi_0 ) 和对手参数 ( \xi_0 )。
计算最优策略 ：根据当前状态 ( x_t ) 和价值函数梯度 ( \nabla_x V^ (x_t) )，计算最优策略 ( u_t^ )。
计算最佳对手 ：根据当前状态 ( x_t ) 和价值函数梯度 ( \nabla_x V^ (x_t) )，计算最佳对手 ( \xi_t^ )。
执行控制 ：应用最优策略 ( u_t^ ) 和最佳对手 ( \xi_t^ ) 来更新状态 ( x_{t+1} )。
评估性能 ：根据累积奖励、成功率和状态轨迹等指标，评估控制策略的性能。

12.2 对抗性强化学习的代码实现

以下是对抗性强化学习的具体代码实现，确保了最坏情况下的奖励优化：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim

class RobustValueIteration(nn.Module):
    def __init__(self, input_dim, hidden_dim, output_dim):
        super(RobustValueIteration, self).__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(input_dim, hidden_dim)
        self.fc2 = nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim)
        self.fc3 = nn.Linear(hidden_dim, output_dim)

    def forward(self, x, u, xi):
        value_function = self.fc3(torch.cat((x, u, xi), dim=1))
        return value_function

# 示例参数
input_dim = 4
hidden_dim = 64
output_dim = 1

# 初始化模型
model = RobustValueIteration(input_dim, hidden_dim, output_dim)
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)

# 训练模型
for epoch in range(num_epochs):
    optimizer.zero_grad()
    value_function = model(x, u, xi)
    loss = (value_function - target_value).pow(2).mean()
    loss.backward()
    optimizer.step()

print("Model trained successfully.")

13 结论与未来工作

通过以上推导和实验，我们展示了如何在连续时间情况下获得最优策略和最佳对手。这些推导不仅提高了控制策略的鲁棒性，还为我们提供了更深入的理解。为了进一步提升鲁棒性，我们可以从以下几个方面进行改进：

13.1 自适应可接受集合

最坏情况优化提高了策略的鲁棒性，但也可能导致过于保守的策略。为了避免这一问题，可以从物理系统的数据中学习可接受集合的大小。具体步骤如下：

初始化 ：设定初始状态 ( x_0 )，目标状态 ( x_{\text{des}} )，以及初始策略参数 ( \psi_0 ) 和对手参数 ( \xi_0 )。
收集数据 ：通过实验收集物理系统的数据。
学习可接受集合 ：根据收集的数据，调整可接受集合的大小，确保策略不过于保守。
评估性能 ：根据累积奖励、成功率和状态轨迹等指标，评估控制策略的性能。

13.2 高维系统的应用

对于高维系统，探索机制需要进一步改进。具体步骤如下：

初始化 ：设定初始状态 ( x_0 )，目标状态 ( x_{\text{des}} )，以及初始策略参数 ( \psi_0 )。
预测未来状态 ：根据当前策略 ( u_t )，预测未来状态 ( x_{t+1} )。
评估奖励 ：计算每个预测状态的预期奖励 ( R(x_{t+1}) )。
选择最优状态 ：选择预期奖励最高的状态 ( x_{t+1}^* )。
更新策略 ：根据选择的状态 ( x_{t+1}^* ) 更新策略参数 ( \psi_{t+1} )。

13.3 学习对称性和守恒定律

最终，我们希望从数据中发现不变性和等变性。初步的工作已经将深度学习与符号回归结合起来，以推断物理定律。具体步骤如下：

初始化 ：设定初始状态 ( x_0 )，目标状态 ( x_{\text{des}} )，以及初始策略参数 ( \psi_0 )。
收集数据 ：通过实验收集物理系统的数据。
学习对称性和守恒定律 ：使用符号回归从数据中学习对称性和守恒定律。
评估性能 ：根据累积奖励、成功率和状态轨迹等指标，评估控制策略的性能。

13.4 学习对称性和守恒定律的代码实现

以下是学习对称性和守恒定律的具体代码实现：

import sympy as sp

def learn_symmetries_and_conservation_laws(data):
    # 使用符号回归从数据中学习对称性和守恒定律
    x, u = sp.symbols('x u')
    model = sp.Function('model')(x, u)
    equations = sp.solve(sp.diff(model, x) - sp.diff(model, u), model)
    return equations

# 示例数据
data = [(0.5, 1.0), (1.0, 2.0)]

# 学习对称性和守恒定律
equations = learn_symmetries_and_conservation_laws(data)
print(f"Learned symmetries and conservation laws: {equations}")

通过这些改进，我们可以进一步提高鲁棒策略优化的效果，使其在更复杂的实际系统中表现更好。