Codeforces 682 C. Alyona and the Tree

最新推荐文章于 2021-08-30 19:50:00 发布

原创最新推荐文章于 2021-08-30 19:50:00 发布 · 237 阅读

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#dfs #动态规划

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树形DP

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该博客讨论了一种树形结构的问题，其中涉及点权、边权和树的好坏定义。如果树中存在某点u到其子树内点v的路径边权和大于v的权值，那么树被认为是不好的。解决方法是删除叶子节点，直至树变为好树。题目给出了时间限制和数据范围，并提供了代码实现，通过DFS求解最少需要删除的叶子节点数量。

题目大意

给出一棵 $n$ 个点的树， $1$ 为根结点，点有点权，边有边权。
对一棵树来说，如果 $∃u,v且v∈subtree(u)\exist u,v 且v\in subtree\pod{u}$ 满足 $dis(u,v)>avdis\pod{u,v}>a_v$ ，则这棵树就是不好的。
其中 $dis(u,v)dis\pod{u,v}$ 表示从 $u$ 到 $v$ 路径上的边权和， $a_v$ 表示 $v$ 这个点的权值。

为了使这棵树变好，每次可以删除当前状态下的一个叶子结点，
问至少要删除多少个叶子节点才能使得这棵树变好。

时间限制

数据范围

$n≤105n\le10^5$
所有权值 $≤109\le 10^9$

题解

先理解一下题意，考虑一对 $(u,v),v∈subtree(u)\pod{u,v},v\in subtree\pod{u}$ ，那么对于 $v$ 来说 $u$ 是哪一些点？
很显然 $u$ 就是 $v$ 到根结点路径上所经过的点。
发现了这一点之后就豁然开朗了。

再理解一下删除叶子节点的含义，也就是说如果要删除一个点，就要把它及其子树都删掉，因为只有把它的子树都删掉以后，它才能成为叶子节点，然后被删去。

于是就可以设状态 $f_i$ 表示从 $i$ 到根结点路径上的所有的点走到 $i$ 的 $d i s$ 最大值， $g_i$ 表示 $i$ 点及其子树中没有删去的点有多少个。

转移很显然： $fi=max(ffather+边权,0)f_i=max\pod{f_{father}+边权,0}$
如果结点 $i$ 需要被删去，则 $g_i=0$ ，否则 $gi=∑j∈son(i)gjg_i=\displaystyle\sum_{j\in son\pod{i}}g_j$

Code

//#pragma GCC optimize (2)
//#pragma G++ optimize (2)
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#define G getchar
#define ll long long
using namespace std;

int read()
{
    char ch;
    for(ch = G();(ch < '0' || ch > '9') && ch != '-';ch = G());
    int n = 0 , w;
    if (ch == '-')
    {
        w = -1;
        ch = G();
    } else w = 1;
    for(;'0' <= ch && ch <= '9';ch = G())n = (n<<1)+(n<<3)+ch-48;
    return n * w;
}

const int N = 100005;
int nxt[N] , lst[N] , to[N] , v[N];
int n , x , y , g[N];
ll f[N];
int ans , si[N];

void dfs(int x)
{
    si[x] = 1;
    for (int i = lst[x] ; i ; i = nxt[i])
    {
        int y = to[i];
        f[y] = max(f[x] + v[i] , (ll)0);
        dfs(y);
        si[x] = si[x] + si[y];
    }
    if (g[x] < f[x])
    {
        ans = ans + si[x];
        si[x] = 0;
    }
}

int main()
{
    //freopen("h.in","r",stdin);
    //freopen("h.out","w",stdout);

    n = read();
    for (int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        g[i] = read();

    for (int i = 1 ; i < n; i++)
    {
        x = read();
        nxt[i] = lst[x];
        to[i] = i + 1;
        v[i] = read();
        lst[x] = i;
    }

    ans = 0;
    dfs(1);
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}