jzoj 3209.【JSOI2013】密码矩阵乘法

最新推荐文章于 2022-03-28 20:31:58 发布

Amber_lylovely

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分类专栏：矩阵乘法

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本文介绍了一个名为“神秘盒”的数学难题，它涉及到通过解析一系列数字的组合来预测未来的概念。文章深入探讨了解决该问题的算法，包括动态规划和矩阵乘法的应用，以及如何使用这些技术来计算特定函数f(N)的值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
Will有一个神秘盒，传说只要有人能解开神秘盒上的密码，就可以预知未来（比如知道这道题的标程是怎样的），你愿意来尝试一下么？
在这里插入图片描述

Input

从文件passw.in中读入数据。
输入仅包含一行一个整数N。

Output

输出到文件passw.out中。
输出仅包含一行一个整数f(N)。

Sample Input

Sample Output

Data Constraint

对于10%的数据满足 $N \leq 4$ ；
对于30%的数据满足 $N \leq 12$ ；
对于60%的数据满足 $N ≤ 10^5$ ；
对于100%的数据满足 $3 ≤ N ≤ 10^{18}$ 。

Hint
SN={1, 2, 11}，故f(N)=1×2+1×11+2×11=35。

分析：
设 $a=∑x∈SNxa=\sum_{x\in S_N}x$ ， $b=∑x∈SNx2b=\sum_{x\in S_N}x^2$ 。
答案就是 $a^2-b)/2$ 。
关键求 $a$ 和 $b$ 。
考虑dp，设 $f [i]$ 表示所有位置数字和为 $i$ 的数的个数， $g [i]$ 表示所有位置数字和为 $i$ 的数的和， $h [i]$ 表示所有位置数字和为 $i$ 的数的平方和。
考虑在每个数的最右边加一个数字。有
$f [i] = f [i - 1] + f [i - 2] + . . . + f [i - 9]$
$g [i] = (g [i - 1] * 10 + 1 * f [i - 1]) + (g [i - 2] * 10 + f [i - 2] * 2) + . . .$
$h[i]=(h[i-1]*100+2*10*g[i-1]+f[i-1]*1^2)+(h[i-2]*100+2*20*g[i-2]+f[i-2]*2^2)$
对 $g$ 和 $h$ 求和就是 $a$ 和 $b$ 。
可以矩阵乘法加速，矩阵是 $29 * 29$ 的。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const LL mod=1000003;
const LL inv2=500002;

using namespace std;

LL n,ans;

struct matrix{
	int n,m;
	LL a[30][30];
}A,B,C;

matrix operator *(matrix a,matrix b)
{
	matrix c;
	c.n=a.n,c.m=b.m;
	for (int i=0;i<=c.n;i++)
	{
		for (int j=0;j<=c.m;j++) c.a[i][j]=0;
	}
	for (int k=1;k<=a.m;k++)
	{
		for (int i=1;i<=a.n;i++)
		{
			for (int j=1;j<=b.m;j++)
			{
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
			}
		}
	}
	return c;
}

void power(LL k)
{
	if (k==1)
	{
		B=A;
		return;
	}
	power(k/2);
	B=B*B;
	if (k&1) B=B*A;
}

int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	A.n=29,A.m=29;
	for (int i=1;i<=9;i++) A.a[i][1]=1;
	for (int i=2;i<=9;i++) A.a[i-1][i]=1;
	for (int i=1;i<=9;i++) A.a[i][10]=i;
	for (int i=10;i<=18;i++) A.a[i][10]=10;
	for (int i=11;i<=18;i++) A.a[i-1][i]=1;
	for (int i=1;i<=9;i++) A.a[i][19]=i*i;
	for (int i=10;i<=18;i++) A.a[i][19]=2*(i-9)*10;
	for (int i=19;i<=27;i++) A.a[i][19]=100;
	for (int i=20;i<=27;i++) A.a[i-1][i]=1;
	A.a[10][28]=1,A.a[28][28]=1;
	A.a[19][29]=1,A.a[29][29]=1;	
	power(n+1);
	C.n=1,C.m=29;
	C.a[1][1]=1;
	C=C*B;
	ans=(C.a[1][28]*C.a[1][28]%mod+mod-C.a[1][29])%mod*inv2%mod;
	printf("%lld\n",ans);
}