洛谷 P3973 [TJOI2015]线性代数最小割

最新推荐文章于 2022-11-08 15:12:46 发布

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本文探讨了如何利用最小割算法解决一个特定的线性代数问题，即找到一个01矩阵A，使表达式D=(A×B−C)×AT达到最大值。通过对题目的数学公式进行分析，将问题转化为最小割问题，并提供了详细的算法实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

为了提高智商,ZJY开始学习线性代数。她的小伙伴菠萝给她出了这样一个问题:给定一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$ 和一个 $1 \times n$ 的矩阵 $C$ 。求出一个 $1 \times n$ 的01矩阵 $A$ 。使得 $D=(A×B−C)×ATD=(A×B-C)×A^{\sf T}$ 最大,其中 $ATA^{\sf T}$ 为 $A$ 的转置。输出 $D$ 。

输入输出格式

输入格式：
第一行输入一个整数n。接下来n行输入B矩阵,第i行第j个数代表B接下来一行输入n个整数,代表矩阵C。矩阵B和矩阵C中每个数字都是不过1000的非负整数

输出格式：
输出一个整数,表示最大的D。

输入输出样例

输入样例#1：
3
1 2 1
3 1 0
1 2 3
2 3 7
输出样例#1：
2
说明

数据范围

对于 30% 的数据，1 ≤ n ≤ 15

对于 100% 的数据，1 ≤ n ≤ 500

分析：
化一下式子得到，
$∑i=1n∑j=1nai∗aj∗bi,j−∑i=1nai∗ci\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_i*a_j*b_{i,j}-\sum_{i=1}^{n}a_i*c_i$
也就是 $a_i$ 选 $1$ 有 $c_i$ 的价值，而同时选了 $a_i$ 和 $a_j$ 就有 $b_{i,i}+b_{i,j}+b_{j,i}+b_{j,j}$ 的价值。
显然可以最小割解决。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>

const int maxn=517;
const int inf=0x3f3f3f3f;

using namespace std;

int n,s,t,ans,cnt;
int b[maxn][maxn],c[maxn],dis[maxn],ls[maxn];

struct edge{
    int y,w,op,next;
}g[maxn*maxn*2];

queue <int> q;

void add(int x,int y,int w)
{
    g[++cnt]=(edge){y,w,cnt+1,ls[x]};
    ls[x]=cnt;
    g[++cnt]=(edge){x,0,cnt-1,ls[y]};
    ls[y]=cnt;
}

bool bfs()
{
    while (!q.empty()) q.pop();
    for (int i=s;i<=t;i++) dis[i]=inf;
    dis[s]=0;
    q.push(s);
    while (!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for (int i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
        {
            int y=g[i].y;
            if ((g[i].w) && (dis[y]>dis[x]+1))
            {
                dis[y]=dis[x]+1;
                if (y==t) return 1;
                q.push(y);
            }
        }
    }
    return 0;
}

int dfs(int x,int maxf)
{
    if (x==t) return maxf;
    int ret=0;
    for (int i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
    {
        int y=g[i].y;
        if ((g[i].w) && (dis[y]==dis[x]+1))
        {
            int f=dfs(y,min(maxf-ret,g[i].w));
            if (!f) dis[y]=-1;
            g[i].w-=f;
            g[g[i].op].w+=f;
            ret+=f;
            if (ret==maxf) break;
        }
    }
    return ret;
}

int dinic()
{
    int flow=0;
    while (bfs()) flow+=dfs(s,inf);
    return flow;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&b[i][j]);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]);	
    s=0,t=n+1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int sum=0;
        for (int j=1;j<=n;j++)
        {
            sum+=b[i][j];
            sum+=b[j][i];
            ans+=b[i][j];
        }
        add(s,i,sum);
        add(i,t,2*c[i]);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=i+1;j<=n;j++) add(i,j,b[i][j]+b[j][i]),add(j,i,b[i][j]+b[j][i]);
    }	
    ans-=dinic()/2;
    printf("%d",ans);
}