洛谷 P4292 [WC2010]重建计划点分治+单调队列

最新推荐文章于 2022-02-17 20:38:09 发布

Amber_lylovely

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分类专栏：点分治

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/liangzihao1/article/details/82844837

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本文探讨了一种针对灾后重建的路径优化算法，旨在在有限的资源下，通过选取特定数量的道路，形成一条简单路径，以实现平均道路价值最大化的目标。算法结合了分数规划、点分治和二分搜索策略，适用于大规模网络优化问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

X国遭受了地震的重创, 导致全国的交通近乎瘫痪，重建家园的计划迫在眉睫。X国由N个城市组成, 重建小组提出，仅需建立N-1条道路即可使得任意两个城市互相可达。于是，重建小组很快提出了一个包含N-1条道路的方案，并满足城市之间两两可达，他们还计算评估了每条道路e建设之后可以带来的价值v(e)。

由于重建计划复杂而艰难，经费也有一定限制。因此，政府要求第一期重建工程修建的道路数目为k条，但需满足L ≤ k ≤ U, 即不应少于L条，但不超过U条。同时，为了最大化利用率，要求建设的这些道路恰好组成一条简单路径，即所建设的k条路径可以构成一个排列e1 = (p1, q1), e2 = (p2, q2), „, ek = (pk, qk), 对于 1 ≤ i < k, 有(qi = pi+1)。

重建小组打算修改他们的原有方案以满足要求，即在原有的N-1条道路中寻找一条路径S作为新的方案，使得新方案中的道路平均价值

$\frac{\sum _{e \in S} v(e)}{|S|}$
最大。这里v(e)表示道路e的价值，|S|表示新方案中道路的条数。请你帮助重建小组寻找一个最优方案。注: 在本题中L和U的设置将保证有解。

输入输出格式

输入格式：
第一行包含一个正整数N，表示X国的城市个数。

第二行包含两个正整数L、U，表示政府要求的第一期重建方案中修建道路数的上下限。

接下来的N-1行描述重建小组的原有方案，每行三个正整数ai, bi, vi，分别表示道路(ai, bi)，其价值为vi。其中城市由1…N标号。

输出格式：
仅包含一行，为一个实数AvgValue，即最大平均价值。

小数点后保留三位。

输入输出样例

输入样例#1：
4
2 3
1 2 1
1 3 2
1 4 3
输出样例#1：
2.500
说明

新方案中选择路径(3, 1), (1, 4)可以得到的平均价值为2.5，为最大平均价值。

对于 $20%20\%$ 的数据， $N \leq 5000$ ;

另有 $30%30\%$ 的数据， $N \leq 100000$ , 原有方案恰好为一条路径(链);

对于 $100%100\%$ 的数据， $N ≤ 100 000, 1 ≤ L ≤ U ≤ N-1, v_i ≤ 10^6$ 。

分析：
我们可以先分数规划，然后相当于找一条长度在 $[L, R]$ 之间的线段，长度大于 $0$ 。显然可以用点分治做。
我们先把点分树建出来，然后再二分，这样简单一些。

对于一个分治中心，我们枚举每一棵子树的答案。对于当前子树，把之前的子树的答案合并成一个 $d i s$ 数组， $d i s [i]$ 表示从分治中心的一条长度为 $i$ 的链的最大权。对于当前子树中一条长度为 $d e p$ 的链，相当于求 $d i s$ 数组的 $[L - d e p, R - d e p]$ 的最大值。
因为我们要二分答案，直接线段树做是 $O(nlog^3n)$ 的。

我们要进行改进，因为每次询问的区间的长度是一定的，我们就可以先对右边界排序，然后就可以用单调队列维护了。
可以思考一下这种dp是怎样优化的，我一时短路没有想到这个。
$f[i]=\max_{j=1}^{k}{f[i-j]}$
为了避免排序，我们可以对子树bfs（并不是从分治中心bfs，而是从他的儿子开始）。

一些优化：
对于小于 $L$ 的连通块，直接退掉。
已经找到一条边，直接退掉。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

const int maxn=100005;
const double eps=1e-4;
const double inf=1e15;

int n,L,R,cnt,last[maxn],dep[maxn],mx[maxn],son[maxn],tim,dfn[maxn],num[maxn];
struct edge{int to,next,w;double val;}e[maxn*2];
struct tree{int l,r;double mx;}t[maxn*5];
double ans,tmp[maxn],dis[maxn];


void addedge(int u,int v,int w)
{
    e[++cnt].to=v;e[cnt].w=w;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;
    e[++cnt].to=u;e[cnt].w=w;e[cnt].next=last[v];last[v]=cnt;
}

void pre_dfs1(int x,int fa)
{
    dep[x]=dep[fa]+1;mx[x]=dep[x];
    for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
    {
        if (e[i].to==fa) continue;
        pre_dfs1(e[i].to,x);
        mx[x]=max(mx[x],mx[e[i].to]);
        if (mx[e[i].to]>mx[son[x]]) son[x]=e[i].to;
    }
}

void pre_dfs2(int x,int fa)
{
    dfn[x]=++tim;
    if (son[x]) pre_dfs2(son[x],x);
    for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
        if (e[i].to!=fa&&e[i].to!=son[x]) pre_dfs2(e[i].to,x);
}

void build(int d,int l,int r)
{
    t[d].mx=-inf;
    if (l==r)
    {
        num[l]=d;
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    build(d*2,l,mid);build(d*2+1,mid+1,r);
}

void modify(int d,int l,int r,int x,double y)
{
    if (l==r)
    {
        t[d].mx=max(t[d].mx,y);
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if (x<=mid) modify(d*2,l,mid,x,y);
    else modify(d*2+1,mid+1,r,x,y);
    t[d].mx=max(t[d*2].mx,t[d*2+1].mx);
}

double query(int d,int l,int r,int x,int y)
{
    if (x>y) return -inf;
    if (l==x&&r==y) return t[d].mx;
    int mid=(l+r)/2;
    return max(query(d*2,l,mid,x,min(y,mid)),query(d*2+1,mid+1,r,max(x,mid+1),y));
}

void dfs(int x,int fa)
{
    modify(1,1,n,dfn[x],dis[x]);
    for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
        if (e[i].to==son[x]) dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].val,dfs(e[i].to,x);
    for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
    {
        if (e[i].to==fa||e[i].to==son[x]) continue;
        dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].val;
        dfs(e[i].to,x);
        for (int j=1;j<=mx[e[i].to]-dep[x];j++)
        {
            tmp[j]=t[num[dfn[e[i].to]+j-1]].mx;
            if (j<=R) ans=max(ans,query(1,1,n,max(1,dfn[x]+L-j),min(dfn[x]+mx[x]-dep[x],dfn[x]+R-j))+tmp[j]-2*dis[x]);
        }
        for (int j=1;j<=mx[e[i].to]-dep[x];j++) modify(1,1,n,dfn[x]+j,tmp[j]);
    }
    ans=max(ans,query(1,1,n,dfn[x]+L,min(dfn[x]+mx[x]-dep[x],dfn[x]+R))-dis[x]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&L,&R);
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
    	int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        addedge(x,y,z);
    }
    pre_dfs1(1,0);
    pre_dfs2(1,0);
    double l=0,r=1000000;t[0].mx=-inf;
    while (r-l>eps)
    {
        double mid=(l+r)/2;
        for (int i=1;i<=cnt;i++) e[i].val=e[i].w-mid;
        ans=-inf;dis[1]=0;
        build(1,1,n);
        dfs(1,0);
        if (ans<=0) r=mid;
        else l=mid;
    }
    printf("%.3lf",l);
}