洛谷 P1066 2^k进制数

题目描述

设r是个2^k 进制数，并满足以下条件：

（1）r至少是个2位的2^k 进制数。

（2）作为2^k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。

在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（kWspan>≤30000）是事先给定的。

问：满足上述条件的不同的r共有多少个？

我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2^k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。

例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（23=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：

2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。

3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。

所以，满足要求的r共有36个。

输入输出格式

输入格式：
输入只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：

k W

输出格式：
输出为1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。

（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

输入输出样例

输入样例#1：
3 7
输出样例#1：
36
说明

NOIP 2006 提高组 第四题

分析：
把一个2^k进制数变为一个少于w位二进制数，那这个2^k进制数有wk（向上取整）位。从左到右每一个数都升序的条件，这样的2^k 进制数共多少个呢？
它等于两类组合数之和：

第一类：长度为2–len-1位，每一位都可以填1–2^k-1这几个数，相当于在(2^k-1)个数放在（2–len-1）位上，就是组合数。
这一类个数为：
C(2^k-1,2)+C(2^k-1,3)+……+C(2^k-1,min(len-1,2^k-1))

第二类：
这类数的最高位是1–p （p=2^(w mod k)-1），所以再剩下的次高位–最低位（一共len-1位，len为总位数），只能取2^k-1-i个数 ( i为最高位取的数，一位后面的每一位都比最高位大，所以只能取i+1—2^k-1这些数，共2^k-1-i个数 )，总方案数为sum(C(2^k-1-i,len-1))
(1<=i<=p and 2^k-1-i>=len-1)

高精度压位即可（答案不会超过200位）。

代码：

const
 maxn=35;
 maxe=1000000;
 numa=6;

type
 arr=array [1..maxn] of longint;

var
 ans:arr;
 f:array [1..301,0..301] of arr;
 k,w,i,j,q,n,len:longint;
 s:string;

procedure gjj(a,b:arr;var c:arr);
 var i,z:longint;
begin
 z:=0;
 for i:=maxn downto 1 do
  begin
   if a[i]+b[i]+z=0 then break;
   c[i]:=(a[i]+b[i]+z) mod maxe;
   z:=(a[i]+b[i]+z) div maxe;
  end;
end;

begin
 readln(k,w);
 ans[maxn]:=1;
 f[1,0]:=ans; f[1,1]:=ans;
 n:=1 shl k;
 for i:=2 to n do
  for j:=0 to i do
   begin
    if (j=0) or (j=i) then f[i,j]:=ans
                      else gjj(f[i-1,j],f[i-1,j-1],f[i,j]);
   end;
 ans[maxn]:=0;
 len:=w div k;
 q:=1 shl (w mod k);
 for i:=2 to len do
  begin
   if i>=n then break;
   gjj(ans,f[n-1,i],ans);
  end;
 for i:=1 to q-1 do
  begin
   if q+i>=n then break;
   gjj(ans,f[n-i-1,len],ans);
  end;
 for j:=1 to maxn do
  if ans[j]<>0 then break;
 write(ans[j]);
 for i:=j+1 to maxn do
  begin
   str(ans[i],s);
   while length(s)<numa do s:='0'+s;
   write(s);
  end;
end.