2016年提高组模拟试题（20161105）方程式

最新推荐文章于 2022-04-05 22:25:17 发布

原创最新推荐文章于 2022-04-05 22:25:17 发布 · 300 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

数论专栏收录该内容

44 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种求解特定类型的多项式方程的方法，通过枚举整数解并考虑重根的情况，利用杨辉三角确定系数，最终通过暴力搜索找到符合条件的解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这里写图片描述

分析：
一定为整数解且一定有解。所以说一定可以变为这样的形式
(x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-an)=0
解就是a1…an。
但是会有重根，也就是说(x-ai)^k（k>=1）。
我们首先在0~20内枚举所有解，如果不够n个（题目有说，我也不清楚为什么有n个解，证明自己去看）。
然后就可以枚举k，如果有t个解，那就有n-t个重根，也就是（1<=k<=n-t）。枚举每个(x-ai)^k的k，然后看看化简后的各项系数是不是题目给的，就可以暴力过。

代码：
(f为杨辉三角，可以用它来确定某项的k次幂的各项系数)

var
 a,x,b,q,q1,q2:array [0..20] of longint;
 power,f:array [-20..20,0..10] of longint;
 n,num:longint;
 i,j:longint;
 s:longint;
procedure dfs(xx:longint);
 var i,j,k:longint;
     flag:boolean;
begin
 if xx=num+1 then
  begin
  fillchar(q,sizeof(q),0);
  fillchar(q1,sizeof(q1),0);
  fillchar(q2,sizeof(q2),0);
  for i:=1 to b[1]+1 do
    q[b[1]-i+2]:=(f[b[1],i]*power[-x[1],i-1]);
   fillchar(q1,sizeof(q1),0);
   for i:=2 to num do
    begin
     for k:=1 to b[i]+1 do
      q2[b[i]-k+2]:=(f[b[i],k]*power[-x[i],k-1]);
     for j:=1 to n do
      for k:=1 to b[i]+1 do
        q1[j+k-1]:=(q1[j+k-1]+q[j]*q2[k]);
     q:=q1;
     fillchar(q1,sizeof(q1),0);
    end;
   flag:=true;
   for i:=1 to n do
    begin
     if (a[i]<>q[i]) then
      begin
       flag:=false;
       break;
      end;
    end;
   if flag then
    begin
     for i:=1 to num do
      for j:=1 to b[i] do
       write(x[i],' ');
     halt;
    end;
   exit;
  end;
 for i:=1 to n-num do
  begin
   b[xx]:=i;
   dfs(xx+1);
  end;
end;

begin
 readln(n);
 for i:=1 to n+1 do
  read(a[i]);
 inc(n);
 if a[1]=0 then
  begin
   inc(num);
   x[num]:=0;
  end;
 for i:=1 to 20 do
  begin
   power[i,0]:=1;
   power[-i,0]:=1;
   for j:=1 to 7 do
   begin
    power[i,j]:=power[i,j-1]*i;
    if odd(j) then power[-i,j]:=-power[i,j]
              else power[-i,j]:=power[i,j];
   end;
  end;
 for i:=1 to 20 do
  begin
   s:=0;
   for j:=1 to n do
    s:=s+a[j]*power[i,j-1];
   if s=0 then
    begin
     inc(num);
     x[num]:=i;
    end;
  end;
 f[1,1]:=1;
 f[1,2]:=1;
 for i:=2 to n-num do
  begin
   for j:=1 to i+1 do
    f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i-1,j-1];
  end;
 dfs(1);
end.