2016年数学建模A题论文+代码

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系泊系统的设计

摘要

本文针对问题一 , 建立了刚体模型和悬链式模型 , 解决了系泊系统在不同风速下各物

体状态的计算问题 . 建立了多目标优化模型 , 解决了重物球质量的优化问题 . 建力了改进

过后的多目标优化模型 , 解决了在特定情况下系泊系统仍然能满足设计目标的优化问题 .

针对问题一 , 建立了刚体模型和悬链式模型 , 解决了系泊系统在不同风速下各物体状

态的计算问题 . 首先 , 对系泊系统中的钢管和钢桶进行受力分析 , 使用刚体模型 , 列出受

力平衡的表达式和力矩平衡方程 . 其次 , 对锚链进行微元处理和受力分析 , 使用悬链线模

型 , 表示锚链的高度和水平长度的关系 , 以此反映出锚链的形状 ; 最后 , 采用信赖域狗腿

算法对方程组进行求解 , 得出计算结果如下：在风速 12m/s 和 24m/s 时 , 钢桶与海平面竖

直方向的夹角分别为 1.1353° 和 4.3158°; 第一节到第四节钢管与水平方向的夹角分别为

1.0887° 和 4.1457°,1.0802° 和 4.1147°,1.0719° 和 4.0841°,1.0637° 和 4.0540°; 锚链形状均

呈悬链型 , 前者存在锚链沉在海床的情况 , 后者则不存在 . 浮标的吃水深度和游动区域分

别为 0.6361m 和 0.6507m,14.7060m 和 17.8541m; 最后 , 采用误差分析法对模型中的求解

结果进行检验 , 得出以下一个节点为参考点来分析力矩平衡方程式的结论 , 验证了求解结

果的合理性 .

针对问题二，建立了多目标优化模型 , 解决了重物球质量的优化问题 . 首先 , 利用问

题一中的假设和相对应的模型 , 并用问题一中的信赖域狗腿算法进行求解，解决了海面

风速为 36m/s 时各物体相关参数的计算问题 . 计算结果如下： 1-4 节钢管的倾斜角度为：

9.910°,9.242°,9.299°,9.356°; 钢桶的倾斜角度为 9.482°; 浮标吃水深度为 0.94m; 浮标吃水

深度为 18.07m; 锚链形状仍然呈现悬链型 , 不存在沉在海床的情况 ; 其次 , 以重物球质量

和吃水深度为目标函数 , 以钢桶的倾斜角不超过 5°, 锚链在锚点与海床的夹角不超过 16°

为约束条件 , 建立多目标优化模型 , 采用蚁群算法对优化模型进行求解 , 求解结果如下：

重物球的质量从 1858kg 到 4893.3kg 均满足情况 , 最佳质量为 1858kg ，此时的吃水深度

为 0.99m, 钢桶的倾斜角度为 3.57m, 锚链在锚点与海床的夹角为 6.42°. 最后 , 对求解结果

进行灵敏度分析 , 分析结果如下：变动系数中吃水深度的灵敏度最大 , 为 72.7142, 影响较

大 .

针对问题三，在问题二的基础上改进了多目标优化模型 , 解决了在特定情况下系泊

系统仍然能满足设计目标的优化问题 . 首先 , 对问题一中说建立的力学模型进行修改 , 增

加水流力这个外力 , 重新进行受力分析 , 建立新的力学模型 ; 其次 , 在问题二建立的模型

基础上 , 以水深 16m 和 20m 为新的规划目标 , 增加锚链的总质量为决策变量 , 约束条件

同问题 2, 建立多目标优化模型 , 并用粒子群法求解出多目标优化模型决策变量和系泊系

统的各个参数的最优解 , 计算结果如下：当水深 16m 、风速 36m/s 、水速 1.5m/s 时，钢

管倾斜角分别为 4.63°,4.62°,4.63° ， 4.64°, 钢桶倾斜角 4.64° 锚链呈悬链线型，没有沉在

海床的部分，浮标吃水深度 1.58m ，游动区域 17.60m. 当水深 18m 、风速 18m/s 、水速

0.75m/s 时，钢管倾斜角分别为 1.16°,1.16°,1.16°,1.17°, 刚体倾斜角为 1.17°, 锚链呈悬链

线型 , 没有沉在海床的部分 , 浮标吃水深度为 1.32m, 游动区域为 14.46m. 当水深 20m 、风

速 36m/s 、水速 1.5m/s 时，钢管倾斜角分别为 4.63°,4.63°,4.63°,4.64°; 钢桶倾斜角 4.64°

锚链呈悬链线型，没有沉在海床的部分，浮标吃水深度 1.58m ，游动区域 16.56m. 最后 ,

采用灵敏度分析的方法对多目标规划模型进行检验 , 进一步分析出浮标吃水深度灵敏度

最大为 113.8346, 影响最大 .

关键词：悬链线模型；信赖域狗腿算法；多目标优化；蚁群优化算法；灵敏度分析

1 一、问题重述

1 . 1 问题背景

系泊系统分为单点系泊和多点系泊，适用于恶劣的海上情况，因此在各个国家不同

海域得到了广泛应用。就系泊系统而言，根据已知的条件来确定电焊锚链的型号和长度

和重物球的质量，使其浮游系统的吃水深度和游动区域较小，港通的倾斜角度尽可能小，

当在遭遇极端海况时保证结构物和系泊系统本身的安全。通过对系泊系统的研究，可以

提高船舶运输和海洋工程的效率和安全性，促进港口和海洋结构物的发展，同时推动海

洋能源开发等领域的创新与进步。

1 . 2 问题重述

近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。某型传输节

点的浮标系统可简化为底面直径 2m 、高 2m 的圆柱体，浮标的质量为 1000kg 。系泊系

统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为 600kg ，锚链

选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共 4 节，每

节长度 1m ，直径为 50mm ，每节钢管的质量为 10kg 。要求锚链末端与锚的链接处的切

线方向与海床的夹角不超过 16 度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系

统安装在一个长 1m 、外径 30cm 的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为 100kg 。钢

桶上接第 4 节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢

桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过 5 度时，

设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

本文将解决以下问题：

1. 某型传输节点选用 II 型电焊锚链 22.05m ，选用的重物球的质量为 1200kg 。现将该型

传输节点布放在水深 18m 、海床平坦、海水密度为 1.025×103kg/m3 的海域。若海水

静止，分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形

状、浮标的吃水深度和游动区域。

2. 在问题 1 的假设下，计算海面风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形

状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过 5 度，锚

链在锚点与海床的夹角不超过 16 度。

3. 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于 16m 20m 之间。布放点的海水速

度最大可达到 1.5m/s 、风速最大可达到 36m/s 。请给出考虑风力、水流力和水深情况

下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水

深度和游动区域。

二、问题分析

问题一是在静水系泊系统下，计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的

倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。解决此问题需要对系泊系统内部的

物体进行受力分析 , 列出受力平衡方程组和力矩平衡公式 . 问题二需要在问题一的假设

下 , 计算风速为 36m/s 时的系泊系统内各物体状态参数 , 并对重物球质量进行调节 , 以满

足钢桶的倾斜角度不超过 5°, 锚链在锚与海床的夹角不超过 16° 的约束条件 , 是优化问

题 . 问题三在问题二中优化模型的基础上进行修改和求解 , 在问题一中建立的力学模型进

行修改 , 重新受力分析 , 建立新的力学模型 . 三个问题间层层递进 , 关系密切 .

2 2 . 1 问题一的分析

根据浮标、钢管、钢桶、重物球、电焊锚链、海水深度、海面风力、海水流速等已

知数据，在海水静止情况下，分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的

倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。因此，从问题内容来看，该问题属

于物理力学问题。解决此类问题的一般方法有悬链线模型 , 刚体模型 , 点粒子模型 , 控制

系统模型等方法。根据本题题意 , 由于锚链的重力远大于所受的水流力以及 4 节钢管的

连接处会发生转动 , 宜于选用悬链线模型 [1] 和刚体模型 [2] 的建模方法。首先 , 以物体的

质心为原点。水平方向为 x 轴，竖直方向上为 y 轴建立直角坐标系 , 对系泊系统中的 4

节钢管 , 钢桶和小球进行受力平衡分析和力矩平衡分析 [3] ，得到系泊系统平衡时的刚体

力学的方程组 ; 其次 , 对锚链线进行微元处理和受力分析 , 推导出悬链式方程 , 使用形状方

程来描述链条的形态 . 求解方程组的一般方法有最小二乘法 , 遍历法 , 信赖域狗腿算法 , 迭

代法、有限元法 , 数值积分等 , 根据推导出的悬链式方程组和刚体力学方程组，宜于选用

信赖域狗腿算法 [4] 进行数值计算 , 求解得出在风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管

的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域 . 最后，采用误差分析对求解结果

进行检验。

2 . 2 问题二的分析

该问题要求在问题一的假设和相对应的模型下 , 对海面风速为 36m/s 时的情况进行

求解 , 并且通过调整重物球的质量 , 使得钢桶的倾斜角不超过 5°, 锚链在锚点与海床的夹

角不超过 16°. 利用问题的建立的模型和求解方法 , 从问题内容来看，该问题的第二问属

于决策优化建模问题 . 解决此类问题的一般方法有线性规划 , 整数规划 , 多目标优化等方

法 . 根据题目意思 , 在钢桶的倾斜角不超过 5°, 锚链在锚点与海床的夹角不超过 16° 的约

束下 , 对重物球的质量进行调节 , 宜于选用多目标优化 [6] 的建模方法 . 根据题意 , 首先 , 利

用问题一建立的模型和求解方法可计算出 36m/s 时的相关参数 , 其次 , 以重物球的质量为

决策变量 , 以钢桶的倾斜角不超过 5°, 链在锚点与海床的夹角不超过 16° 为约束条件 , 建

立多目标规划模型 ; 之后 , 采用蚁群算法 [7] 对优化模型进行求解 , 求出符合约束条件的重

物球质量 , 其中最优解则为在约束条件下最满足系泊系统设计要求的最佳重物球质量 . 最

后 , 对该模型进行灵敏度分析 [8] , 进一步分析钢桶倾斜角 , 游动区域 , 重物球质量的灵敏

度 .

2 . 3 问题三的分析

问题三要求设计出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统 . 其中 , 水深要求在

16m 20m 之间都满足系泊系统设计的目标 , 水流力和风力需要在最大情况下仍然满足系

泊系统的设计 . 和问题二类似，同样也是优化问题，并且可以在问题二所建立的多目标

优化模型的基础上进行修改和求解。解决此类问题的一般方法有牛顿法 [9] , 线性规划 , 多

目标优化等方法 , 根据题意 , 宜于选用多目标优化的的方法 , 并且可以在问题二所建立的

多目标优化模型的基础上进行修改和求解 . 求解多目标优化模型的一般方法有蚁群算法 ,

遗传算法 , 粒子群算法等 , 本文宜于选用粒子群算法 [10] 进行求解 . 首先 , 对问题一中说建

立的力学模型进行修改 , 增加水流力这个外力 , 重新进行受力分析 , 建立新的力学模型 ; 其

次 , 在问题二建立的模型基础上 , 以水深 16m 和 20m 为新的规划目标 , 增加锚链的总质量

为决策变量 , 约束条件同问题 2, 建立多目标优化模型 , 并用粒子群法求解出多目标优化

模型决策变量和系泊系统的各个参数的最优解 ; 最后，采用灵敏度分析的方法对多目标

规划模型进行检验 , 进一步分析参数的灵敏性 .

3 三、基本假设

1. 假设不考虑浮标倾斜的情况 .

2. 假设钢管和钢桶不存在形变 .

3. 假设锚链质量均匀 , 形状大致认为悬链线型 .

4. 假设不考虑锚链与海底平面的摩擦力 .

四、符号说明

T i : 钢管的拉力

m : 重物球的质量

H : 浮标吃水深度

F 浮 : 浮力

H : 浮标吃水深度

α : 钢桶的倾斜角度

βi : 钢管的倾斜角度

ρ : 海水密度

五、模型建立与求解

5 . 1 问题一的模型建立与求解

由题可知 , 在海水静止情况下，建立静水系泊系统 , 计算出海面风速为 12m/s 和 24m/s

时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域 . 首先 , 对系泊系

统进行局部受力分析 , 对系统中的钢管和钢桶 , 使用刚体模型 , 列出受力平衡的表达式和

力矩平衡方程 . 其次 , 对锚链进行微元处理和受力分析 , 使用悬链线模型 , 表示锚链的高度

和水平长度的关系 , 以此反映出锚链的形状 . 采用信赖域狗腿算法对方程组进行求解 . 结

合求出参数 , 可以计算出浮标距离锚的最大距离 , 即可求出游动区域 .

5 . 1 . 1 模型建立

5 . 1 . 1 . 1 模型的物理思想

刚体模型是基于刚体力学的一种数学描述方式。它假设物体是刚性的，不存在形变，

可以看作是由不可变的质点组成的。悬链线模型是基于连续体力学的一种数学描述方

式。其假设物体可以看作是由无数个微小质点或片段组成的连续体，并考虑了这些质点

或片段之间的相互作用 .

5 . 1 . 1 . 2 刚体模型和悬链线模型的建立

由于地球引力，整个系泊系统各部件之间保持绷紧状态，忽略钢管、钢桶、锚链等

部件连接点处的摩擦，则相邻部件之间彼此存在拉力，但拉力不沿杆的方向。现对每个

刚体部件分别进行受力分析。假设风速导致海流为平面流 , 在垂直方向上无分量 , 将分析

简化为二维问题 .

5.1.1.2.1 刚体受力分析

对第一节钢管进行受力分析：

4 图 1 钢管受力分析图

T 1 与 T 2 分别是第二节钢管与钢桶力的作用，受力平衡方程如下：

{ F

浮

sin

G 2 + T 1 sin β 1

cos

β 1

选定钢管的重心为为支点 , 列出力矩守恒方程为：

T 1 sin ( θ − β 1 ) = T 2 sin ( θ − θ 1 )

对钢桶和重物球进行受力分析，受力分析图如下：

图 2 钢桶和小球受力分析图

根据钢桶和重物球的受力分析图 , 得到如下受力平衡方程：

{ F 浮

′

sin

θ 1 =

G 3 + T sin β 1

T ′

cos

其中 , 已知重物球的质量，所以与钢管类似，可由其受力平衡图解得钢桶的拉力 Ty 以及

其倾斜角 , 同样，选定钢桶的重心为支点，可列出力矩守恒方程：

T ( sin θ 1 − β 1 ) + G 球 cos θ 1 = T ′ sin ( θ 1 − β 2 )

5 浮标进行受力分析图如下：

图 3 浮标受力分析图

假设不考虑浮标倾斜的情况 , 当水流力为零时，共受到四个力作用 , 分别为 4 号钢管

的拉力 T , 自身重力 G 1 , 水面风力 F 风 , 以及自身浮力 F 浮 , 浮标在四个作用力下保持平衡 ,

设拉力 T 与水平方向为 α , 得到受力平衡方程如下：











T x = T cos α = F

风

+ T sin α = F

浮

浮 = ρgV 排

5.1.1.2.2 悬链线模型

对钢桶下的锚链采用悬链线模型进行受力分析，将锚链看作是若干个微小片段的集

合 , 受力分析图如下：

图 4 锚链受力分析图

每一小段两端的张力分别为 T 与 T + △ T ，两端连线与水平的方向的夹角为 β , 锚链

末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角为 α , 锚链单位长度的质量为 w , 则每小段锚

6 链的重力为 △ G = w △ L , 受力平衡方程如下：











∑ F x

cos

(

cos

)

∆

− −

cos

∑ F y

= sin

(

sin

)

∆

−

sin

−

w ∆ L

由该式可推导得出微分方程 :











y ′′

√ 1 + y 2 ( a = F / w )

(0) = 0

y ′ (0) = tan α

由以上公式求解微分方程 , 并进一步推导出悬链线的长度方程，即

L = a · sh [ x

+ ln ( tan α + sec α ) ] − a · tan α

锚链无沉底

锚链末端纵坐标为 y 1 ，横坐标为 x 1 ，由于锚链从坐标系原点开始，全部锚链均高于

海水平面，对锚链总长度进行曲线积分得：

∫ 0 x 1 √ 1 + y ′ 2 d x = s, y 1 = y ( x 1 )

锚链末端满足：

y ′ | x 1 = tan α

其中 s 为锚链长度，此问中为已知量 .

锚链有沉底

锚链沉在水底的部分为 x 0 米 , 锚链末端纵坐标为 y 1 ，横坐标为 x 1 ，由于锚链从（ x 0 ,0 ）

点开始 , 右侧的锚链均高于海水平面 . 对锚链总长度进行曲线积分得

∫

x 1

x 0

√ 1 + y ′ 2 d x = s − x 0 , y 1 = y ( x 1 )

锚链末端仍然满足：

y ′ | x 1 = tan α

其中 s 为锚链长度 .

5.1.1.2.3 水下总高度和游动区域的方程

结合前面两大部分的受力分析方程 , 可以列出总的高度 H 和游动区域最大半径 R 的

方程。水下总高度 H 在此问中取定值 18 m, 可以表示为针链末端纵坐标 y 1 , 钢桶和 4 根

钢管的 y 轴投影长度、浮标吃水深度 d 之和 , 即

H = y 1 + l 1 cos β + l 2 ( cos θ 1 + cos θ 2 + cos θ 3 + cos θ 4 ) + h

该式中 y 1 可以由针链形状的方程确定 , 即 ∫ 0 x 1 √ 1 + y 12 dx = s, y 1 = y ( x 1 )

7 其中 s 为锚链长度 , 此问中为已知量 , x 1 和 y 1 分别代表针链末端 C 点的横坐标和纵

坐标。 l 1 为钢桶长度 , l 2 为钢管长度 , θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 分别代表钢管 1-4 的倾斜角度 , β 代表钢桶

倾斜角度 , d 代表浮标吃水深度。将游动区域理解为一个圆形区域 , 当风力达到最大且方

向保持不变时 , 该圆形区域的半径达到最大。最大半径值等于稳定后系泊系统各个部分

在水平方向投影的总长度。因此游动区域的最大半径 R 可以表示为针链末端横坐标 x 0 ,

钢桶和 4 根钢管的 x 轴投影长度之和 :

R = x 0 + l 1 sin β + l 2 ( sin θ 1 + sin θ 2 + sin θ 3 + sin θ 4 )

5 . 1 . 1 . 3 模型表达式

综上所述 , 基于上述受力分析以及平衡方程 , 总结如下：











浮

sin

G 2 + T 1 sin β 1

cos

T 1

sin ( θ

−

β 1 ) = T

sin ( θ − θ 1 )

F 浮 + T

′ sin θ 1 = G 3 + T sin β 1

′ cos θ 1 = T cos β 1

T x = T cos α = F 风

G 1 + T sin α = F 浮

F 浮 = ρgV 排

∫ 0 x 1 √ 1 + y ′ 2 d x = s, y 1

( x

1 )

∫

x 1

x 0 √ 1 +

′ 2 d

−

, y 1

y ( x 1 )

R = x 0 +

l 1

sin

(

sin

+ sin θ 2 + sin θ 3 + sin θ 4 )

H = y 1 + l 1 cos β + l 2 ( cos θ 1 + cos θ 2 + cos θ 3 + cos θ 4 ) + h

5 . 1 . 2 模型求解

5 . 1 . 2 . 1 信赖域狗腿算法的思想

信赖域狗腿算法（ Trust Region Dogleg Algorithm ）是一种用于非线性最优化问题的

迭代算法。它在每一次迭代中，通过在信赖域内选择适当的步长和方向来更新当前的解 .

当前迭代点为中心的球形区域，表示算法对解的可信程度。只有在信赖域内的解才被认

为是可接受的 , 在信赖域内选择一个合适的步长和方向来更新当前解。选择的步长和方

向应该在一定程度上保证模型的改进，并且不超出信赖域的范围 . 信赖域狗腿算法能够

快速收敛到最优解，并且具有较好的数值稳定性和全局收敛性

5 . 1 . 2 . 2 信赖域狗腿算法求解的过程

1. 初始化，设定初始点 x 0 和信赖域半径 Δ.

2. 计算当前点 xk 处的梯度 gk .

3. 解决信赖域子问题：在信赖域内找到一个试探步 dk ，并计算对应的模型改进量。

4. 当达到预设的终止准则时，停止迭代。

8 5 . 1 . 2 . 3 模型求解的结果

表 1 浮标相关参数求解结果

浮标

12m/s 24m/s

吃水深度

0.6361m 0.6507

游动区域 14.7060m 17.8541m

由该表可知：在海风静止 , 海面风速为 12m/s 和 24m/s 时 , 浮标的吃水深度分别为

0.6361m 和 0.6507m, 浮标的游动区域分别为 14.7060m 和 17.8541m. 对比分析可知 , 随着

风速增大 , 吃水深度逐渐变大 , 游动区域也逐渐变大 .

求解得到钢桶和各节钢管的倾斜角度 , 如下表所示：

表 2 不同风速下 1-4 节钢管和钢桶倾斜角度表

风速

12m/s 24m/s

1 1.0887° 4.1457°

2 1.0802° 4.1147°

3 1.0719° 4.0841°

4 1.0637° 4.0540°

钢桶 1.1353° 4.3158°

由表 2 可知：在风速 12m/s 和 24m/s 时 , 钢桶与海平面竖直方向的夹角分别为 1.1353°

和 4.3158°; 第一节钢管与水平方向的夹角分别为 1.0887° 和 4.1457°; 第二节钢管与水平

方向的夹角分别为 1.0802° 和 4.1147°; 第三节钢管与水平方向的夹角分别为 1.0719° 和

4.0841°; 第四节钢管与水平方向的夹角分别为 1.0637° 和 4.0540°; 对比表 2 中相关数据

进行分析，当风速由 12m/ 增加到 24m/s 时，钢桶和各节钢管的倾斜角度 , 浮标的吃水深

度 , 游动区域最大半径均有不同幅度的增加，但是钢桶与竖直线的夹角仍然在 5° 范围内，

因此 , 设备的工作效果较好 .

绘制的锚线形状图如下所示：

图 5 风速为 12m/s 的锚链形状图

9 根据图 5 可知 , 锚链末端与锚的衔接处的切线方向与海床的夹角为 0 度，即锚

链 6.7401m 沉在海床面上 , 在 x 轴上的投影长度为 7.4992m ，在 y 轴上的投影长度为

12.2922m.

图 6 风速为 24m/s 的锚链形状

根据图 6 可知，锚链处于脱离海床的边缘，因此锚链末端与锚的衔接处的切线方向

与海床的夹角仍为 0 度 , 但与图 5 相比不存在锚链沉在海床的情况，在 x 轴上的投影长

度为 16.9891m, 在 y 轴的投影长度为 12.2900m. 综上由图 6 和图 5 对比可知，当风速增

加时，风力的增大对锚链形状的影响很大 .

5 . 1 . 3 问题结论

海风风速 12m/s 时 , 钢桶与海平面竖直方向的夹角分别为 1.1353°; 第一节到第四节

钢管与水平方向的夹角分别为 1.0887°,1.0802°,1.0719°,1.0637°; 浮标的吃水深度和游动

区域分别为 0.6361m 和 0.6507m,14.7060m 和 17.8541m; 锚链呈悬链型 , 存在沉在海床上 ;

浮标的吃水深度份分别为 0.6361m; 浮标的游动区域分别为 14.7060m. 海风风速为 24m/s

时 , 钢桶与海平面竖直方向的夹角分别为 4.3158°; 第一到第四节钢管的与水平方向的夹

角为 4.1457°, 4.1147°, 4.0841°, 4.0540°; 锚链呈悬链型 , 不存在沉在海床的情况 ; 浮标的吃

水深度为 0.6507m , 浮标的游动区域为 17.8541m.

5 . 1 . 4 误差分析

误差分析提供了关于结果可信度的信息，这对于做出决策和进行设计是至关重要

的 . 本文为评估结果的准确性和可靠性，对力矩平衡方程进行误差分析 . 在前述模型中 ,

本文通过对各物体进行受力分析和力矩平衡分析 , 分别得出受力平衡方程式和力矩平衡

方程式。由钢管的受力分析进行推广 :

L i T i +1 sin ( φ i − θ i +1 ) =

2 L i ( G − F 浮 ) cos φ i ( i = 1 , 2 , 3 , 4)

由此公式可以得出 :

tan φ i =

2 T i sin θ i − G + F 浮

2 T i cos θ i

( i = 1 , 2 , 3 , 4)

在由锚链的公式推导得出 :

tan φ i =

2 T i sin θ i − G + F 浮

2 T i cos θ i

( i = 5 , 6 , · · · n )

10 因此，我们可以得到第 i 个节点与第 i + 1 个节点，与海平面水平方向夹角的递推公式 :

tan φ i =

2 T i sin θ i − G + F 浮

2 T i cos θ i

( i = 1 , 2 , 3 , · · · n )

综上 , 在模型一、二中选择以下一个节点为参考点来分析的力矩平衡方程式成立。

5 . 1 . 5 小结

针对本问题 , 建立了刚体模型和悬链式模型 , 解决了在海面风速为 12m/s 和 24m/s 时 ,

钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域的计算问题 . 首先 ,

对系泊系统中的钢管和钢桶进行受力分析 , 使用刚体模型 , 列出受力平衡的表达式和力

矩平衡方程 . 其次 , 对锚链进行微元处理和受力分析 , 使用悬链线模型 , 表示锚链的高度和

水平长度的关系 , 以此反映出锚链的形状 . 采用信赖域狗腿算法对方程组进行求解 . 得出

在风速 12m/s 和 24m/s 时 , 钢桶与海平面竖直方向的夹角分别为 1.1353° 和 4.3158°; 第一

节钢管与水平方向的夹角分别为 1.0887° 和 4.1457°; 第二节钢管与水平方向的夹角分别

为 1.0802° 和 4.1147°; 第三节钢管与水平方向的夹角分别为 1.0719° 和 4.0841°; 第四节

钢管与水平方向的夹角分别为 1.0637° 和 4.0540°; 浮标的吃水深度份分别为 0.6361m 和

0.6507m; 浮标的游动区域分别为 14.7060m 和 17.8541m. 最后 , 采用误差分析法对模型中

的求解结果进行检验 , 得出以下一个节点为参考点来分析力矩平衡方程式的结论 , 验证了

求解结果的合理性 .

5 . 2 问题二的模型建立与求解

利用问题一中的假设和相对应的模型 , 求解海面风速为 36m/s 时 , 各物体相关参数 .

并用问题一中的信赖域狗腿算法进行求解 . 本文以重物球质量和吃水深度为目标函数 , 以

钢桶的倾斜角不超过 5°, 锚链在锚点与海床的夹角不超过 16° 为约束条件 , 建立多目标优

化模型 , 采用蚁群算法对优化模型进行求解 . 最后 , 对求解结果进行灵敏度分析 .

5 . 2 . 1 模型建立

5 . 2 . 1 . 1 刚体模型和悬链线模型

海面风速为 36m/s 是 , 系泊系统的各参数求取可以直接利用问题一中建立的刚体模

型和悬链线模型进行求解 , 即











浮

sin

G 2 + T 1 sin β 1

cos

T 1

sin ( θ

−

β 1 ) = T

sin ( θ − θ 1 )

F 浮 + T

′ sin θ 1 = G 3 + T sin β 1

′ cos θ 1 = T cos β 1

T x = T cos α = F 风

G 1 + T sin α = F 浮

F 浮 = ρgV 排

∫ 0 x 1 √ 1 + y ′ 2 d x = s, y 1

( x

1 )

∫

x 1

x 0 √ 1 +

′ 2 d

−

, y 1

y ( x 1 )

R = x 0 +

l 1

sin

(

sin

+ sin θ 2 + sin θ 3 + sin θ 4 )

H = y 1 + l 1 cos β + l 2 ( cos θ 1 + cos θ 2 + cos θ 3 + cos θ 4 ) + h

11 利用此模型可以求出风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度 , 锚链形状和浮标的游

动区域 .

5 . 2 . 1 . 2 多目标优化模型

问题二还需要调节重物球的重量 , 使得钢桶的倾斜角不超过 5°, 锚链在锚点与海床

的夹角不超过 16°, 可以建立优化模型 . 在水深为 18m 的情况下 , 以最小重物球的质量吃

水深度作为目标函数 , 即

min ( m + h )

以钢桶的倾斜角度小于 5°, 锚链末端与海床的夹角小于 16° 为约束条件 , 即

φ 215 ≤ 16 °

90 − φ 5 ≤ 5 °

5 . 2 . 1 . 3 模型表达式

综上所述 , 最后的优化模型如下：

min ( h + m )

s.t.











cos

风

G 1

T sin

= F 浮

F 浮

ρgV 排

浮

sin

sin β 1

cos

β 1

F 浮 + T

′ sin θ

1 =

sin

β 1

′ cos θ 1 = T cos β 1

tan φ i = 2 T i sin θ

−

+ F 浮

cos

θ i

H = y 1 + l 1 cos β + l 2 ( cos θ 1 + cos θ 2 + cos θ 3 + cos θ 4 ) + h

215

≤

−

≤

5 °

5 . 2 . 2 模型求解

5 . 2 . 2 . 1 刚体模型和悬链线模型求解

海面风速为 36m/s 时系泊系统各参数的求取可以直接使用问题一建立的刚体模型和

悬链线模型 , 并且采用相同的信赖域狗腿算法进行求解 .

5 . 2 . 2 . 2 基于蚁群算法的优化模型求解

蚁群算法是利用蚁群搜索食物源时体现出的寻有能力求解离散系统优化某些难题

的一种新模拟进化算法。原理就是蚂蚁移动时，在自己走过的道路上留下了一种叫信息

素的材料来传递信息，蚂蚁移动时也能感受到这一材料，并用它来引导其移动方向，即

信息素浓度和路径长度呈反比关系。假使这样一条路径已经被前面的蚂蚁通过已留下信

息素，那么后面的蚂蚁在通过这个地方时会比较容易地选择信息素比较多的道路，那么

由数量众多的蚂蚁所构成的群体行为就表现出信息的正反馈，某条道路上行走的蚂蚁数

12 量越多则后来者选择这条道路的几率就越高，同时信息素浓度和道路长度呈反比关系，

最后产生最优道路的可能性就越高。首先基于 Djk 算法求出最短路径，其次设置蚁群数

量、移动次数等相关参数如下：蚂蚁数量 Ant = 100 ；蚂蚁移动的次数 T imes = 100 ；信

息素挥发系数 Rou = 0 . 8 ；转移概率 P 0 = 0 . 2 . 该算法的主要步骤如下：

1. nc = 0 （ nc 为达代步数或搜索次数） , τ ij 和 △ τ ij 初始化，将 m 蚂蚊置于

个顶点上

2. 将各蚂蚁的初始出发点置于当前解集，对每个蚂蚁 k ( k = 1

, · · ·

, m ) .

按概率

p k ij

移至

下一顶点 j ，将顶点 j 置于当前解集 ;

3. 计算各蚂蚁的目标函数值 Z k ( k =1 , ··· ,m ) ，记录当前的最好解 ;

4. 按更新方程修改轨迹强度 ;

5. 对各边弧 ( i, j ) ，置 △ τ ij = 0 ， nc = nc + 1 ;

6. 若 nc < 预定的迭代次数，则转至步骤 2.

5 . 2 . 2 . 3 模型求解的结果

表 3 36m/s 风速下系泊系统各参数结果表

风速

36m/s

9.190°

9.242°

9.299°

9.356°

钢桶

9.482°

浮标吃水深度

0.94m

游动区域

18.07m

由此表可知 , 在海面风速为 36m/s 时 , 第一到第四节的钢管的倾斜角度分别为 9.190°,9.242°,9.299°,9.356°;

钢桶的倾斜角度为 9.482°; 浮标的吃水深度为 0.94m, 游动区域为 18.07m.

图 7 风速 36m/s 时锚链形状

13 由图可知 , 此锚链在锚点和海床的夹角微微超过 16°, 锚能被拖动 , 但夹角相差不大 .

通过蚁群算法对优化模型进行求解，代入静力学方程中进行计算求解各个参数，选

取参数满足约束条件的随机数。将这些随机数代入目标函数中进行计算，选取出目标函

数数值最小的随机数，即是该多目标规划模型的最优解。经过循环 100 次得到满足约

束条件的结果有 41 组， m 的取值从 1858 到 4984.3 ，都满足要求 . 也就是在海面风速为

36m/s 时，调节重物球质量从 1858kg 到 4984.3kg 都满足要求。

图 8 结果适应曲线图

这 41 组可选重物球质量方案中，最佳设计为重物球质量 1858kg ，此时吃水深度

0.99m ，钢桶倾斜角 3.57°, 锚链在锚点与海床的夹角为 6.42° 。

5 . 2 . 3 问题结论

在问题一假设下海面风速为 36m/s 时，钢管倾斜角分别为 9.190°,9.242°9.299°,9.356°;

钢桶倾斜角 9.356° ，锚链呈悬链线型，没有沉在海床的部分 ; 浮标吃水深度 0.94m ，游动

区域 18.07m ，锚链在锚点在海面风速为 36m/s 时，调节重物球质量从 1858kg 到 4984.3kg

都满足要求，最佳质量为 1858kg ，此时吃水深度 0.99m ，钢桶倾斜角 3.57°, 锚链在锚点

与海床的夹角为 6.42°.

5 . 2 . 4 灵敏度分析

对问题二建立的优化模型进行灵敏度分析 , 微调钢桶倾斜角、浮标吃水深度、游动

区域、重物球质量这 4 个参数，对比微调前后目标数值的差值 , 即可判断哪些参数较为

灵敏，而哪些参数较不灵敏。

得到结果下图所示，分别是钢桶倾斜角、浮标吃水深度、游动区域、重物球质量这

四个参数微调前后目标数值的差值 :

14 图 9 系数变动时适应度差值图

通过计算得到：钢桶倾斜角系数变动时适应度差值标准差为 :59.6193 ；吃水深度系数

变动时适应度差值标准差为 :72.7142 ；游动区域系数变动时适应度差值标准差为 :58.9512 ；

重物球质量系数变动时适应度差值标准差为 :59.1849 。结合图可知 4 个系数中吃水深度

的灵敏度最大，即影响最大；而其余 3 个系数的灵敏度较为接近，都比较低，影响较小。

5 . 2 . 5 小结

利用问题一中的假设和相对应的模型 , 求解海面风速为 36m/s 时 , 各物体相关参数 .

并用问题一中的信赖域狗腿算法进行求解 . 求解结果如下： 1-4 节钢管的倾斜角度为：

9.910°,9.242°,9.299°,9.356°; 钢桶的倾斜角度为 9.482°; 浮标吃水深度为 0.94m; 浮标吃水

深度为 18.07m; 锚链形状仍然呈现悬链型 , 不存在沉在海床的情况 . 本文以重物球质量和

吃水深度为目标函数 , 以钢桶的倾斜角不超过 5°, 锚链在锚点与海床的夹角不超过 16° 为

约束条件 , 建立多目标优化模型 , 采用蚁群算法对优化模型进行求解 , 求解结果如下：重

物球的质量从 1858kg 到 4893.3kg 均满足情况 , 最佳质量为 1858kg ，此时的吃水深度为

0.99m, 钢桶的倾斜角度为 3.57m, 锚链在锚点与海床的夹角为 6.42°. 最后 , 对求解结果进

行灵敏度分析 , 分析结果如下：钢桶倾斜角系数变动时适应度差值标准差为 :59.6193; 吃

水深度系数变动时适应度差值标准差为 :72.7142; 游动区域系数变动时适应度差值标准

差为 :58.9512; 重物球质量系数变动时适应度差值标准差为 :59.1849. 由此可知 , 变动系数

中吃水深度的灵敏度最大，即影响最大；而其余 3 个系数的灵敏度较为接近，都比较低，

影响较小。

5 . 3 问题三的模型建立与求解

5 . 3 . 1 模型建立

5 . 3 . 1 . 1 模型建立的过程

改进后的力学模型和悬链线模型

问题三中增加了水流速这一因素，也就是整个系泊系统受到水流力的作用，需要在

问题一建立的力学模型和悬链线模型的基础上进行修改，重新进行受力分析和建立相应

模型：

15 图 10 浮标和钢管的受力分析图

由图 10 可知 ,4 个部分的受力情况中 , 都多了一个水流力 , 只需要在原受力平衡的基

础上加入该力即可：

浮标的受力平衡方程：

{ 0

625 πhv

+ 374

πv

2 h

sin

1 g

cos

θ 1

ρgπr

1 (

−

)

钢管的受力平衡方程 :

{ m 2

cos

i +1

i cos i +

ρgπr

, i = 1 · · · 4

F i

sin

+ 374 πv

cos

i r 2

图 11 钢桶和锚链的受力分析图

钢桶的受力平衡方程 :

{ m

F 6

cos

θ 6 = F 5

cos

ρgπr

sin

θ 5

+ 374 πv 2

cos

r 3

锚链的悬链线方程 :







y = a cosh

( x

L = a − 1 )

sinh

( x

)

多目标优化模型

问题三中需要给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计。在问题二所建

立模型的基础进行修改 , 建立多目标规划模型。在这三个因素中 , 水深是受潮汐影响周期

变化 , 所作出的设计应该在水深在 16 m 2 20 m 之间都满足要求并且尽量满足系泊系统设

计的目标。为了简化模型 , 认为只要在水深 16 m 和 20 m 的情况下满足要求 , 就能够在

16 16 m 2 20 m 这段区域内满足要求。而水深取值不同时 , 会导致一些规划目标变化 , 就将这

些产生变化的规划目标每个拆分成两个。问题二的 4 个规划目标中 , 只有游动区域会随

水深变化而变化。而游动区域中 , 是针链的水平距离会发生变化 , 故将其拆分成两个 , 即

将 d 拆分成 d 和 d ′ 两个规划目标 , 此时规划目标变为

min θ 5 + h + (

∑

i =1

sin θ i + d ) + (

∑

i =1

sin θ i + d ′ ) + m 4 + ∆ mL

对于另外两个因素 , 在最恶劣的情况下 , 即水速为 1.5 m / s 和风速为 36 m / s 时 , 设计的

系统能够满足要求 , 就能在环境适中或者较好的情况下满足要求 , 即系统参数中 , v 1 =

1 . 5 m / s , v 2 = 36 m / s 。约束条件和问题二一样 , 系统的各类参数可以依照 5.3.1.1 中改进

的静力学模型和悬链线模型确定。至此确定完整的多目标规划模型 :

min 0 . 5 θ 5 + 0 . 2 h + 0 . 1 (

∑

i =1

sin θ i + d ) + 0 . 1 (

∑

i =1

sin θ i + d ′ ) + 0 . 1 ( m 4 + ∆ mL )

s.t.











≤

5 o

′

| x

→

≤ tan 16 o

∑

i =1

sin θ i + d ≤ L

( m

+ 4 m

+ m 3 + m 4 )

≤

F B 1

+ 4

+ F B 3

625 πhv

+ 374

πv

2 h

sin

g + F 1

cos

θ 1

ρgπr

( H

−

)

F i +1 sin θ i +1 = F i sin θ i + 374

πv

cos

r 2

m 3 g + m 4 g + F 6 cos θ 6 = F 5 cos θ 5 + ρgπr

F 6 sin θ 6 = F 5 sin θ 5 + 374 πv 2 2 cos θ i r 3

H −

∑

i =1

cos θ i − h = a cosh ( x

− 1 )

a = F 6

sin θ 6

5 . 3 . 2 模型求解

解决优化问题有遗传算法等方法，而粒子群算法没有遗传算法的交叉、变异和选择

等操作，这就决定了粒子群算法相对遗传算法更简洁。主要步骤如下 :

1. 初始化粒子群个数 30 ，惯性因子 0.6 ，个体和群体加速常数都为 0.5 ，最大迭代次数

100.

2. 计算每个粒子的初始适应值；找到个体和群体的最优值，更新各个粒子的速度和位

置；

3. 如果达到最大迭代次数，就结束算法，否则重新计算各粒子的适应值。

经过 100 次迭代计算得到

17 图 12 结果适应度图

其中，适应度最小的重物球质量为 3933.46kg ，对应的锚链质量为 246.25kg ，考虑

到实际情况，选取类型 III 最为合适，此时锚链长度为 19.7m 。此时，求取水深 16m 、风

速 36m/s 、水速 1.5m/s ，水深 18m 、风速 18m/s 、水速 0.75m/s ，水深 20m 、风速 36m/s 、

水速 1.5m/s 这三种情况下的系泊系统各参数。

5 . 3 . 2 . 1 模型求解的结果

图 13 水深 16m 的锚链曲线图

当水深 16m 、风速 36m/s 、水速 1.5m/s 时，钢管倾斜角分别为 4.63°,4.62°,4.63° ， 4.64°,

钢桶倾斜角 4.64° 锚链呈悬链线型，没有沉在海床的部分，浮标吃水深度 1.58m ，游动区

域 17.60m.

图 14 水深 18m 的锚链曲线图

当水深 18m 、风速 18m/s 、水速 0.75m/s 时，钢管倾斜角分别为 1.16°,1.16°,1.16°,1.17°,

刚体倾斜角为 1.17°, 锚链呈悬链线型 , 没有沉在海床的部分 , 浮标吃水深度为 1.32m, 游

动区域为 14.46m.

18 图 15 水深 20m 的锚链曲线图

当水深 20m 、风速 36m/s 、水速 1.5m/s 时，钢管倾斜角分别为 4.63°,4.63°,4.63°,4.64°;

钢桶倾斜角 4.64° 锚链呈悬链线型，没有沉在海床的部分，浮标吃水深度 1.58m ，游动区

域 16.56m.

5 . 3 . 3 问题结论

应调度最小的重物球质量为 3933.46kg ，对应的锚链质量为 246.25kg ，考虑到实际

情况，选取类型 III 最为合适，此时锚链长度为 19.7m 。当水深 16m 、风速 36m/s 、水速

1.5m/s 时，钢管倾斜角分别为 4.63°,4.62°,4.63° ， 4.64°, 钢桶倾斜角 4.64° 锚链呈悬链线

型，没有沉在海床的部分，浮标吃水深度 1.58m ，游动区域 17.60m. 当水深 18m 、风速

18m/s 、水速 0.75m/s 时，钢管倾斜角分别为 1.16°,1.16°,1.16°,1.17°, 刚体倾斜角为 1.17°,

锚链呈悬链线型 , 没有沉在海床的部分 , 浮标吃水深度为 1.32m, 游动区域为 14.46m. 当

水深 20m 、风速 36m/s 、水速 1.5m/s 时，钢管倾斜角分别为 4.63°,4.63°,4.63°,4.64°; 钢桶

倾斜角 4.64° 锚链呈悬链线型，没有沉在海床的部分，浮标吃水深度 1.58m ，游动区域

16.56m.

5 . 3 . 4 检验分析

类似于问题二的检验，对问题三建立的多目标规划模型进行灵敏度分析，微调钢桶

倾斜角、浮标吃水深度、水深 16m 和 20m 的游动区域、重物球质量这 5 个参数，对比微

调前后目标数值的差值 , 即可判断哪些参数较为灵敏，而哪些参数较不灵敏。得到结果

如图 2- 所示，分别是钢桶倾斜角、浮标吃水深度、水深 16m 和 20m 的游动区域 , 重物球

质量这四个参数微调后目标数值的差值：

19 图 16 水深 20m 的锚链曲线图

经过计算得到：钢桶倾斜角系数变动时适应度差值标准差为 :46.0678 吃水深度系数

变动时适应度差值标准差为 :113.8349 ；水深 16 米游动区域系数变动时适应度差值标准

差为 :45.3695 ；水深 20 米游动区域系数变动时适应度差值标准差为 :75.7713 ；重物球质

量系数变动时适应度差值标准差为 :81.6667 ；结合图和计算结果得钢桶和水深 16m 游动

区域的灵敏度较小，影响较小；而浮标吃水深度的灵敏度最大，影响最大。

5 . 3 . 5 小结

问题三要求设计出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统 . 其中 , 水深要求在

16m 20m 之间都满足系泊系统设计的目标 , 水流力和风力需要在最大情况下仍然满足系

泊系统的设计 . 在问题二所建立的多目标优化模型的基础上进行修改和求解。首先 , 对

问题一中说建立的力学模型进行修改 , 增加水流力这个外力 , 重新进行受力分析 , 建立新

的力学模型 ; 其次 , 在问题二建立的模型基础上 , 以水深 16m 和 20m 为新的规划目标 , 增

加锚链的总质量为决策变量 , 约束条件同问题 2, 建立多目标优化模型 , 并用粒子群法求

解出多目标优化模型决策变量和系泊系统的各个参数的最优解 , 结果如下：当水深 16m 、

风速 36m/s 、水速 1.5m/s 时，钢管倾斜角分别为 4.63°,4.62°,4.63° ， 4.64°, 钢桶倾斜角

4.64° 锚链呈悬链线型，没有沉在海床的部分，浮标吃水深度 1.58m ，游动区域 17.60m.

当水深 18m 、风速 18m/s 、水速 0.75m/s 时，钢管倾斜角分别为 1.16°,1.16°,1.16°,1.17°,

刚体倾斜角为 1.17°, 锚链呈悬链线型 , 没有沉在海床的部分 , 浮标吃水深度为 1.32m,

游动区域为 14.46m. 当水深 20m 、风速 36m/s 、水速 1.5m/s 时，钢管倾斜角分别为

4.63°,4.63°,4.63°,4.64°; 钢桶倾斜角 4.64° 锚链呈悬链线型，没有沉在海床的部分，浮

标吃水深度 1.58m ，游动区域 16.56m. 最后，采用灵敏度分析的方法对多目标规划模型

进行检验 , 进一步分析出钢桶倾斜角系数变动时适应度差值标准差为 :46.0678 吃水深度

系数变动时适应度差值标准差为 :113.8349 ；水深 16 米游动区域系数变动时适应度差值

标准差为 :45.3695 ；水深 20 米游动区域系数变动时适应度差值标准差为 :75.7713 ；重物

球质量系数变动时适应度差值标准差为 :81.6667 ；结合图和计算结果得钢桶和水深 16m

游动区域的灵敏度较小，影响较小；而浮标吃水深度的灵敏度最大，影响最大。

20 六、模型评价与推广

6 . 1 模型评价

针对问题一 , 在一定简化后键立模型和求解较为严谨的情况下简便、快捷地解决问

题。但是整个模型是建立在假设的基础上，忽略了一些不太重要的条件，和实际情况存

在一定偏差。改进时应该避免简化模型，建立考虑到更多的受力甚至力矩的静力学模型。

针对问题二，建立的多目标规划模型不仅能够很好地完成问题的要求，给出调节重物球

质量的范围，还能更进一步给出最佳的重物球质量。但是由于求解模型采用蒙特卡罗法，

依靠产生随机数得到最佳的重物球质量，会导致最佳质量不是一个固定的值，依然在一

个很小范围内变动。改进可以更换求解模型的方法，或者增加随机数量，使结果在实际

误差范围趋于定值。针对问题三，在对问题作出一定简化后建立多目标规划模型，能够

结合前几问的模型简便地求出所要求的内容。但是所求出的最佳设计方案是在水深变化

情况下的整体最优，和最恶劣情况下保证满足条件，不能在环境较好的情况下得到局部

最佳结果。

6 . 2 模型推广

锚链系泊定位由于其结构简单、工作安全、可靠、经济性好等优点，系统在海上油

田开发、船舶防风以及援救打捞作业市场布置中都有十分广泛的应用。 [7] 可以将钢管

改为水下软管，运输原油，起着输送井流，电力、通信等功能。将系泊系统向深海推进，

增强海洋资源的综合利用和开发。同时，系泊系统具有抵御一定环境条件的能力，保证

设计环境下的作业要求，遭遇极端海况时，能够保证结构物和系泊系统本身安全。

参考文献

[1] 韦慧玲 , 仇原鹰 , 盛英等 . 绳牵引并联机器人悬链线优化解算方法 [J]. 清华大学学报

( 自然科学版 ),2021,61(03):224-229.

[2] 独亚平 , 赵春花 , 郭嘉辉等 . 柔顺停歇机构伪刚体模型的运动学和动力学分析 [J]. 工

程设计学报 ,2022,29(02):202-211.

[3] 俞霄 , 王世民 . 基于力矩平衡的板块驱动力研究 [J]. 中国科学院大学学

报 ,2022,39(03):321-331.

[4] 王昌涛 , 代洪华 , 张哲等 . 并行加速的局部变分迭代法及其轨道计算应用 [J]. 力学学

报 ,2023,55(04):991-1003.

[5] 刘梓轩 , 孙永荣 , 曾庆化等 . 基于测距测角信息的 DG-IEKF 相对导航算法 [J]. 导航与

控制 ,2021,20(03):34-43.

[6] Babooshka S,Bekir A,Juhani M, et al. Interactive multiobjective optimization for find

ing the most preferred exercise therapy modality in knee osteoarthritis.[J]. Annals of

medicine,2022,54(1).

[7] 黄丰云 , 江仕球 , 许建宁 . 改进的蚁群算法机器人路径规划研究 [J]. 机械设计与制

造 :1-5[2023-08-04].

[8] Zixiang S,Liu Y,Jianzhong S, et al. Sensitivity analysis and exergoeconomic optimization

of an improved He-CO2 cascade Brayton cycle for concentrated solar power[J]. Energy

Conversion and Management,2023,279.

[9] 任洁 , 彭建文 . 求解多目标优化问题的非单调牛顿法的超线性收敛性 [J]. 应用数

学 ,2022,35(04):956-965

[10] 王浩丞 , 李凌 . 动态拓扑结构混合粒子群算法及其应用 [J]. 计算机科学与探索 :1-

17[2023-08-04]

21 附录

附录一问题一的代码

wenti1.m 代码如下

fx=[];

fy=[];

v=24;

m=[1,1,1,1,1];

% 钢管与钢桶每部分质量

l=[1,1,1,1,1];

% 钢管至钢桶每部分高度

for j=1:210

% 锚链节数

ml=7*0.105;

% 每节锚链质量

m=[m,ml];

% 钢管至锚链质量

l=[l,0.105];

% 钢管至锚链每部分高度

end

shuli=[];

gebushuli=[]; % 钢管受力

phy=[];

h1=[];

k=1;

g=9.80665;

% 重力加速度

mml=1200; % 重物球的质量

phy1={};

phy2=[];

a=1;

for i=1:215

if i<5

% 钢管竖直方向受力

v1=0.025^2*pi*1;

% 钢管体积

shuli=m(i)*g-1025*g*v1;

gebushuli=[gebushuli,shuli];

elseif i==5

% 钢桶

v2=0.15^2*pi*1;

shuli=m(i)*g-1025*g*v2;

gebushuli=[gebushuli,shuli];

elseif i>=6

zl=7*0.105;

v3=zl./7850;

shuli=m(i)*g-1025*g*v3;

gebushuli=[gebushuli,shuli];

end

for h=0.3:0.0001:0.8

phy=zeros(1,215);

fbfeng=feng(v,h);

22 fbfu=fu(h);

fx(1)=fbfeng;

fy(1)=fbfu;

for j=1:215

if j==5

vz=mml/7085;

f11=mml*g-1025*vz*g;

fy(6)=fy(5)-gebushuli(5)-f11;

fx(6)=fx(5);

phy(j)=atan(((2*fy(j))-gebushuli(j))/(fx(j)*2))/pi*180;

elseif j~=5

fy(j+1)=fy(j)-gebushuli(j);

fx(j+1)=fx(j);

phy(j)=atan(((2*fy(j))-gebushuli(j))/(fx(j)*2))/pi*180;

end

if fy(j)<0

break

end

phy1{k}=phy;

h1=sind(phy).*l

H(k)=sum(h1)+h;

k=k+1;

phy=[];

end

[h_min,u]=min(abs(18-H(:)))

jd=phy1{u};

yy=0;

xx=0;

xx1=[];

yy1=[];

yfx=sind(phy1{u}).*l;

xfx=cosd(phy1{u}).*l;

for i=length(yfx):-1:6

yy=yy+yfx(i);

yy1=[yy1,yy];

xx=xx+xfx(i);

xx1=[xx1,xx];

end

plot(xx1,yy1, 'Color' , 'black' , 'Linewidth' ,1);

set(gcf, 'Units' , 'centimeters' , 'Position' ,[5 5 20 12]);

legend( ' 锚链形状 ' ,FontSize=16) % 继续保持图形，并设置图例字体大小为 16

axis([0,18,0,14]) % 设置坐标轴范围为 x 轴 [0,16] ， y 轴 [0,1.5] 。

set(gca, 'FontName' , 'Times New

Rome' , 'FontSize' ,16); % 设置坐标轴的字体为 Times New

23 Roman ，字体大小为 16.

xlabel( ' 锚链投影长度 /m' , 'FontName' , ' 宋体 ' , 'FontSize' ,22);

ylabel( ' 距离海底高度 /m' , 'FontName' , ' 宋体 ' , 'FontSize' ,22); %

R=sum(cosd(jd).*l);

% 浮标风力

function [fbfeng]=feng(v,h)

D=2;

fbfeng=0.625*D*(2-h)*v*v;

end

% 浮标竖直受力

function [fbfu]=fu(h)

ro=1025;

% 海水密度

g=9.80665;

% 重力加速度

r=1;

% 浮标半径

mfb=1000;

% 浮标质量

fbfu=ro*g*pi*r*r*h-mfb*g;

end

附录二问题二的代码

wenti2.m 代码如下

close,clc

fx=[];

%Tcos

fy=[];

%Tsin

v=36;

% 风速为 36m/s

m=[1,1,1,1,1];

% 钢管与钢桶每部分质量

l=[1,1,1,1,1];

% 钢管至钢桶每部分高度

for j=1:210

% 锚链节数

ml=7*0.105;

% 每节锚链质量

m=[m,ml];

% 钢管至锚链质量

l=[l,0.105]

% 钢管至锚链每部分高度

end

shuli=[];

gebushuli=[];

phy=[];

h1=[];

k=1;

g=9.80665;

% 重力加速度

phy1={};

for i=1:215

if i<5

% 钢管竖直方向受力

24 v1=0.025^2*pi*1;

% 钢管体积

shuli=m(i)*g-1025*g*v1;

gebushuli=[gebushuli,shuli];

elseif i==5

% 钢桶

v2=0.15^2*pi*1;

shuli=m(i)*g-1025*g*v2;

gebushuli=[gebushuli,shuli];

elseif i>=6

zl=7*0.105;

v3=zl./7850;

shuli=m(i)*g-1025*g*v3;

gebushuli=[gebushuli,shuli];

end

% 变步长迭代搜索

% 下限 2400 上限 2500

mbc=10;

mml36=0;

for mml=2200:1:2500

for h=0.6:0.001:2

% 吃水深度步长

phy=zeros(1,215);

fbfeng=feng(h);

fbfu=fu(h);

fx(1)=fbfeng;

fy(1)=fbfu;

for j=1:215

if j==5

vz=mml/7085;

f11=mml*g-1025*vz*g;

fy(6)=fy(5)-gebushuli(5)-f11;

fx(6)=fx(5);

phy(j)=atan(((2*fy(j))-gebushuli(j))/(fx(j)*2))/pi*180;

elseif j~=5

fy(j+1)=fy(j)-gebushuli(j);

fx(j+1)=fx(j);

phy(j)=atan(((2*fy(j))-gebushuli(j))/(fx(j)*2))/pi*180;

end

if fy(j)<0

break

end

phy1{k}=phy;

h1=sind(phy).*l

25 H(k)=sum(h1)+h;

k=k+1;

phy=[];

end

[h_min,u]=min(abs(18-H(:)));

if phy1{u}(5)>85&&phy1{u} (215)<16

mml36=mml;

break

end

k=1;

end

[h_min,u]=min(abs(18-H(:)))

jd=phy1{u};

% 绘图

yy=0;

xx=0;

xx1=[];

yy1=[];

yfx=sind(phy1{u}).*l;

xfx=cosd(phy1{u}).*l;

for i=length(yfx):-1:6

yy=yy+yfx(i);

yy1=[yy1,yy];

xx=xx+xfx(i);

xx1=[xx1,xx];

end

plot(xx1,yy1)

xlabel( 'x 轴 ' )

ylabel( 'y 轴 ' )

title( ' 风速 36m/s 时锚链形状 ' )

R=sum(cosd(jd).*l);

% 浮标风力

function [fbfeng]=feng(h)

D=2;

v=36;

fbfeng=0.625*D*(2-h)*v*v;

end

% 浮标竖直受力

function [fbfu]=fu(h)

ro=1025;

% 海水密度

26 g=9.80665;

% 重力加速度

r=1;

% 浮标半径

mfb=1000;

% 浮标质量

fbfu=ro*g*pi*r*r*h-mfb*g;

end

附录三问题三的代码

添加文字， ×××× 。