2016年数学建模A题论文+代码

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系泊系统的设计

摘 要

       本文针对问题一 , 建立了刚体模型和悬链式模型 , 解决了系泊系统在不同风速下各物

体状态的计算问题 . 建立了多目标优化模型 , 解决了重物球质量的优化问题 . 建力了改进

过后的多目标优化模型 , 解决了在特定情况下系泊系统仍然能满足设计目标的优化问题 .

针对问题一 , 建立了刚体模型和悬链式模型 , 解决了系泊系统在不同风速下各物体状

态的计算问题 . 首先 , 对系泊系统中的钢管和钢桶进行受力分析 , 使用刚体模型 , 列出受

力平衡的表达式和力矩平衡方程 . 其次 , 对锚链进行微元处理和受力分析 , 使用悬链线模

型 , 表示锚链的高度和水平长度的关系 , 以此反映出锚链的形状 ; 最后 , 采用信赖域狗腿

算法对方程组进行求解 , 得出计算结果如下：在风速 12m/s 和 24m/s 时 , 钢桶与海平面竖

直方向的夹角分别为 1.1353° 和 4.3158°; 第一节到第四节钢管与水平方向的夹角分别为

1.0887° 和 4.1457°,1.0802° 和 4.1147°,1.0719° 和 4.0841°,1.0637° 和 4.0540°; 锚链形状均

呈悬链型 , 前者存在锚链沉在海床的情况 , 后者则不存在 . 浮标的吃水深度和游动区域分

别为 0.6361m 和 0.6507m,14.7060m 和 17.8541m; 最后 , 采用误差分析法对模型中的求解

结果进行检验 , 得出以下一个节点为参考点来分析力矩平衡方程式的结论 , 验证了求解结

果的合理性 .

针对问题二，建立了多目标优化模型 , 解决了重物球质量的优化问题 . 首先 , 利用问

题一中的假设和相对应的模型 , 并用问题一中的信赖域狗腿算法进行求解，解决了海面

风速为 36m/s 时各物体相关参数的计算问题 . 计算结果如下： 1-4 节钢管的倾斜角度为：

9.910°,9.242°,9.299°,9.356°; 钢桶的倾斜角度为 9.482°; 浮标吃水深度为 0.94m; 浮标吃水

深度为 18.07m; 锚链形状仍然呈现悬链型 , 不存在沉在海床的情况 ; 其次 , 以重物球质量

和吃水深度为目标函数 , 以钢桶的倾斜角不超过 5°, 锚链在锚点与海床的夹角不超过 16°

为约束条件 , 建立多目标优化模型 , 采用蚁群算法对优化模型进行求解 , 求解结果如下：

重物球的质量从 1858kg 到 4893.3kg 均满足情况 , 最佳质量为 1858kg ，此时的吃水深度

为 0.99m, 钢桶的倾斜角度为 3.57m, 锚链在锚点与海床的夹角为 6.42°. 最后 , 对求解结果

进行灵敏度分析 , 分析结果如下：变动系数中吃水深度的灵敏度最大 , 为 72.7142, 影响较

大 .

针对问题三，在问题二的基础上改进了多目标优化模型 , 解决了在特定情况下系泊

系统仍然能满足设计目标的优化问题 . 首先 , 对问题一中说建立的力学模型进行修改 , 增

加水流力这个外力 , 重新进行受力分析 , 建立新的力学模型 ; 其次 , 在问题二建立的模型

基础上 , 以水深 16m 和 20m 为新的规划目标 , 增加锚链的总质量为决策变量 , 约束条件

同问题 2, 建立多目标优化模型 , 并用粒子群法求解出多目标优化模型决策变量和系泊系

统的各个参数的最优解 , 计算结果如下：当水深 16m 、风速 36m/s 、水速 1.5m/s 时，钢

管倾斜角分别为 4.63°,4.62°,4.63° ， 4.64°, 钢桶倾斜角 4.64° 锚链呈悬链线型，没有沉在

海床的部分，浮标吃水深度 1.58m ，游动区域 17.60m. 当水深 18m 、风速 18m/s 、水速

0.75m/s 时，钢管倾斜角分别为 1.16°,1.16°,1.16°,1.17°, 刚体倾斜角为 1.17°, 锚链呈悬链

线型 , 没有沉在海床的部分 , 浮标吃水深度为 1.32m, 游动区域为 14.46m. 当水深 20m 、风

速 36m/s 、水速 1.5m/s 时，钢管倾斜角分别为 4.63°,4.63°,4.63°,4.64°; 钢桶倾斜角 4.64°

锚链呈悬链线型，没有沉在海床的部分，浮标吃水深度 1.58m ，游动区域 16.56m. 最后 ,

采用灵敏度分析的方法对多目标规划模型进行检验 , 进一步分析出浮标吃水深度灵敏度

最大为 113.8346, 影响最大 .

关键词： 悬链线模型；信赖域狗腿算法；多目标优化；蚁群优化算法；灵敏度分析

1 一、 问题重述

1 . 1 问题背景

系泊系统分为单点系泊和多点系泊，适用于恶劣的海上情况，因此在各个国家不同

海域得到了广泛应用。就系泊系统而言，根据已知的条件来确定电焊锚链的型号和长度

和重物球的质量，使其浮游系统的吃水深度和游动区域较小，港通的倾斜角度尽可能小，

当在遭遇极端海况时保证结构物和系泊系统本身的安全。通过对系泊系统的研究，可以

提高船舶运输和海洋工程的效率和安全性，促进港口和海洋结构物的发展，同时推动海

洋能源开发等领域的创新与进步。

1 . 2 问题重述

近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。某型传输节

点的浮标系统可简化为底面直径 2m 、高 2m 的圆柱体，浮标的质量为 1000kg 。系泊系

统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为 600kg ，锚链

选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共 4 节，每

节长度 1m ，直径为 50mm ，每节钢管的质量为 10kg 。要求锚链末端与锚的链接处的切

线方向与海床的夹角不超过 16 度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系

统安装在一个长 1m 、外径 30cm 的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为 100kg 。钢

桶上接第 4 节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢

桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过 5 度时，

设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

本文将解决以下问题：

1. 某型传输节点选用 II 型电焊锚链 22.05m ，选用的重物球的质量为 1200kg 。现将该型

传输节点布放在水深 18m 、海床平坦、海水密度为 1.025×103kg/m3 的海域。若海水

静止，分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形

状、浮标的吃水深度和游动区域。

2. 在问题 1 的假设下，计算海面风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形

状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过 5 度，锚

链在锚点与海床的夹角不超过 16 度。

3. 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于 16m 20m 之间。布放点的海水速

度最大可达到 1.5m/s 、风速最大可达到 36m/s 。请给出考虑风力、水流力和水深情况

下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水

深度和游动区域。

二、 问题分析

问题一是在静水系泊系统下，计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的

倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。解决此问题需要对系泊系统内部的

物体进行受力分析 , 列出受力平衡方程组和力矩平衡公式 . 问题二需要在问题一的假设

下 , 计算风速为 36m/s 时的系泊系统内各物体状态参数 , 并对重物球质量进行调节 , 以满

足钢桶的倾斜角度不超过 5°, 锚链在锚与海床的夹角不超过 16° 的约束条件 , 是优化问

题 . 问题三在问题二中优化模型的基础上进行修改和求解 , 在问题一中建立的力学模型进

行修改 , 重新受力分析 , 建立新的力学模型 . 三个问题间层层递进 , 关系密切 .

2 2 . 1 问题一的分析

根据浮标、钢管、钢桶、重物球、电焊锚链、海水深度、海面风力、海水流速等已

知数据，在海水静止情况下，分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的

倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。因此，从问题内容来看，该问题属

于物理力学问题。解决此类问题的一般方法有悬链线模型 , 刚体模型 , 点粒子模型 , 控制

系统模型等方法。根据本题题意 , 由于锚链的重力远大于所受的水流力以及 4 节钢管的

连接处会发生转动 , 宜于选用悬链线模型 [1] 和刚体模型 [2] 的建模方法。首先 , 以物体的

质心为原点。水平方向为 x 轴，竖直方向上为 y 轴建立直角坐标系 , 对系泊系统中的 4

节钢管 , 钢桶和小球进行受力平衡分析和力矩平衡分析 [3] ，得到系泊系统平衡时的刚体

力学的方程组 ; 其次 , 对锚链线进行微元处理和受力分析 , 推导出悬链式方程 , 使用形状方

程来描述链条的形态 . 求解方程组的一般方法有最小二乘法 , 遍历法 , 信赖域狗腿算法 , 迭

代法、有限元法 , 数值积分等 , 根据推导出的悬链式方程组和刚体力学方程组，宜于选用

信赖域狗腿算法 [4] 进行数值计算 , 求解得出在风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管

的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域 . 最后，采用误差分析对求解结果

进行检验。

2 . 2 问题二的分析

该问题要求在问题一的假设和相对应的模型下 , 对海面风速为 36m/s 时的情况进行

求解 , 并且通过调整重物球的质量 , 使得钢桶的倾斜角不超过 5°, 锚链在锚点与海床的夹

角不超过 16°. 利用问题的建立的模型和求解方法 , 从问题内容来看，该问题的第二问属

于决策优化建模问题 . 解决此类问题的一般方法有线性规划 , 整数规划 , 多目标优化等方

法 . 根据题目意思 , 在钢桶的倾斜角不超过 5°, 锚链在锚点与海床的夹角不超过 16° 的约

束下 , 对重物球的质量进行调节 , 宜于选用多目标优化 [6] 的建模方法 . 根据题意 , 首先 , 利

用问题一建立的模型和求解方法可计算出 36m/s 时的相关参数 , 其次 , 以重物球的质量为

决策变量 , 以钢桶的倾斜角不超过 5°, 链在锚点与海床的夹角不超过 16° 为约束条件 , 建

立多目标规划模型 ; 之后 , 采用蚁群算法 [7] 对优化模型进行求解 , 求出符合约束条件的重

物球质量 , 其中最优解则为在约束条件下最满足系泊系统设计要求的最佳重物球质量 . 最

后 , 对该模型进行灵敏度分析 [8] , 进一步分析钢桶倾斜角 , 游动区域 , 重物球质量的灵敏

度 .

2 . 3 问题三的分析

问题三要求设计出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统 . 其中 , 水深要求在

16m 20m 之间都满足系泊系统设计的目标 , 水流力和风力需要在最大情况下仍然满足系

泊系统的设计 . 和问题二类似，同样也是优化问题，并且可以在问题二所建立的多目标

优化模型的基础上进行修改和求解。解决此类问题的一般方法有牛顿法 [9] , 线性规划 , 多

目标优化等方法 , 根据题意 , 宜于选用多目标优化的的方法 , 并且可以在问题二所建立的

多目标优化模型的基础上进行修改和求解 . 求解多目标优化模型的一般方法有蚁群算法 ,

遗传算法 , 粒子群算法等 , 本文宜于选用粒子群算法 [10] 进行求解 . 首先 , 对问题一中说建

立的力学模型进行修改 , 增加水流力这个外力 , 重新进行受力分析 , 建立新的力学模型 ; 其

次 , 在问题二建立的模型基础上 , 以水深 16m 和 20m 为新的规划目标 , 增加锚链的总质量

为决策变量 , 约束条件同问题 2, 建立多目标优化模型 , 并用粒子群法求解出多目标优化

模型决策变量和系泊系统的各个参数的最优解 ; 最后，采用灵敏度分析的方法对多目标

规划模型进行检验 , 进一步分析参数的灵敏性 .

3 三、 基本假设

1. 假设不考虑浮标倾斜的情况 .

2. 假设钢管和钢桶不存在形变 .

3. 假设锚链质量均匀 , 形状大致认为悬链线型 .

4. 假设不考虑锚链与海底平面的摩擦力 .

四、 符号说明

T i : 钢管的拉力

m : 重物球的质量

H : 浮标吃水深度

F 浮 : 浮力

H : 浮标吃水深度

α : 钢桶的倾斜角度

βi : 钢管的倾斜角度

ρ : 海水密度

五、 模型建立与求解

5 . 1 问题一的模型建立与求解

由题可知 , 在海水静止情况下，建立静水系泊系统 , 计算出海面风速为 12m/s 和 24m/s

时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域 . 首先 , 对系泊系

统进行局部受力分析 , 对系统中的钢管和钢桶 , 使用刚体模型 , 列出受力平衡的表达式和

力矩平衡方程 . 其次 , 对锚链进行微元处理和受力分析 , 使用悬链线模型 , 表示锚链的高度

和水平长度的关系 , 以此反映出锚链的形状 . 采用信赖域狗腿算法对方程组进行求解 . 结

合求出参数 , 可以计算出浮标距离锚的最大距离 , 即可求出游动区域 .

5 . 1 . 1 模型建立

5 . 1 . 1 . 1 模型的物理思想

刚体模型是基于刚体力学的一种数学描述方式。它假设物体是刚性的，不存在形变，

可以看作是由不可变的质点组成的。悬链线模型是基于连续体力学的一种数学描述方

式。其假设物体可以看作是由无数个微小质点或片段组成的连续体，并考虑了这些质点

或片段之间的相互作用 .

5 . 1 . 1 . 2 刚体模型和悬链线模型的建立

由于地球引力，整个系泊系统各部件之间保持绷紧状态，忽略钢管、钢桶、锚链等

部件连接点处的摩擦，则相邻部件之间彼此存在拉力，但拉力不沿杆的方向。现对每个

刚体部件分别进行受力分析。假设风速导致海流为平面流 , 在垂直方向上无分量 , 将分析

简化为二维问题 .

5.1.1.2.1 刚体受力分析

对第一节钢管进行受力分析：

4 图 1 钢管受力分析图

T 1 与 T 2 分别是第二节钢管与钢桶力的作用，受力平衡方程如下：

{ F

浮

+

T

2

sin

θ

1

=

G 2 + T 1 sin β 1

T

2

cos

θ

1

=

T

1

cos

β 1

选定钢管的重心为为支点 , 列出力矩守恒方程为：

T 1 sin ( θ − β 1 ) = T 2 sin ( θ − θ 1 )

对钢桶和重物球进行受力分析，受力分析图如下：

图 2 钢桶和小球受力分析图

根据钢桶和重物球的受力分析图 , 得到如下受力平衡方程：

{ F 浮

+

T

′

sin

θ 1 =

G 3 + T sin β 1

T ′

cos

θ

1

=

T

cos

β

1

其中 , 已知重物球的质量，所以与钢管类似，可由其受力平衡图解得钢桶的拉力 Ty 以及

其倾斜角 , 同样，选定钢桶的重心为支点，可列出力矩守恒方程：

T ( sin θ 1 − β 1 ) + G 球 cos θ 1 = T ′ sin ( θ 1 − β 2 )

5 浮标进行受力分析图如下：

图 3 浮标受力分析图

假设不考虑浮标倾斜的情况 , 当水流力为零时，共受到四个力作用 , 分别为 4 号钢管

的拉力 T , 自身重力 G 1 , 水面风力 F 风 , 以及自身浮力 F 浮 , 浮标在四个作用力下保持平衡 ,

设拉力 T 与水平方向为 α , 得到