leetcode 343. Integer Break（dp和math方法）-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/level_code/article/details/94334904

探讨了将正整数n分解成至少两个正整数的和，以使这些整数的乘积最大化的两种方法：动态规划和数学推导。通过实例说明，如输入10，输出最大乘积36。数学方法更高效，利用e为基底的乘积特性，确定3为最佳分解基数。

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Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.

Example 1:

Input: 2
Output: 1
Explanation: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1.
Example 2:

Input: 10
Output: 36
Explanation: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36.

给一个正整数n，把n至少分解成2个整数，使分解的整数乘积最大

思路：
（1）dp
比如10分解成2个整数的时候，可以分解成以下组合
1 * 9, 2* 8, 3 * 7, 4 * 6, 5 * 5，6* 4, 7 * 3, 8 * 2, 9 * 1
从这中间先选最大的

然后比如3 * 7, 7还可以进一步分解成[1 * 6, 2 * 5, 3 * 4, 4 * 3, 5 * 2, 6 * 1]
7分解的整数乘积的最大值在从1～10的过程中已经计算过了，再用到时只需要调用dp

所以dp[i] = max(两个数的积（比如3 * 7），进一步分解的最大值（比如：3 * dp[7])）

这个方法在time complexity上，在目前的时间点上faster than 52.24%

//1ms
    public int integerBreak(int n) {
		if (n <= 3) {
			return (n - 1);
		}
		
		int[] dp = new int[n + 1];
		dp[2] = 1;
		dp[3] = 2;
		
		for (int i = 4; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= i; j++) {
			  //每个i对应很多j，要把dp[i]也放入max的比较中，防止最大值被淹没
			  //可以是j*(i-j),也可以是(i-j)进一步拆分的数字的乘积*i
				dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j));
				dp[i] = Math.max(dp[i], j * dp[i - j]);
			}
		}
		
		return dp[n];
    }

(2) 数学方法
参照https://blog.youkuaiyun.com/qq_17550379/article/details/82811007
以3作基底的乘积最大，推导
我们将n拆分成n/x个数值为x的整数，那么这些整数的乘积就是 $x^{n/x}$ , 这个乘积对x求导
$y = x^{n/x}$
$l n y = (n / x) l n x$
$y'/y = -(n/x^{2})lnx + (n/x^{2})$
$y' = n(1-lnx)x^{(n/x - 2)}$

所以在x=e的时候乘积最大，x=2或3
而 $2 * 2 * 2 < 3 * 3$
所以想要乘积最大，那么一定要将3作为基底，并且<=4的余数不再进行拆分。

此方法在当前时间点上，time complexity: faster than 100%

//0ms
    public int integerBreak(int n) {
        if (n <= 3) {
            return (n - 1);
        }
        
        int result = 1;
        
        //<=4的余数不再拆分
        while (n > 4) {
            result *= 3;
            n -= 3;
        }
        
        result *= n;
        
        return result;
    }