7、有限元方法与机械场分析

有限元方法与机械场分析

1. 有限元方法中的灵活离散化

1.1 投影与映射算法

在有限元方法里，积分点从相交单元投影到主单元和从单元是重要操作。一般而言，点 3 和 4 的计算常需运用牛顿算法。线性映射算法仅适用于 2 节点等参线单元、3 节点等参三角形单元或仅采用线性局部到全局映射的高阶单元。一旦获取基函数 (N_a) 和 (N_b) 的值并计算出相关式子，组装算子要确保将贡献添加到耦合矩阵的对应项中。

1.2 Nitsche 型胶合方法

标准 Mortar 有限元法通过引入拉格朗日乘子，能在弱意义上满足迹（物理量）的连续性，在强意义上满足通量（物理量的法向导数）的连续性。不过，该方法存在耦合系统产生鞍点结构的缺点。因此，Nitsche 型胶合方法应运而生。

Nitsche 方法最初用于弱施加本质边界条件，它与原微分方程一致，能保留底层有限元方法的收敛速度，而标准惩罚方法要么需要很大的惩罚参数，要么会破坏所得代数方程组的条件数。

对于拉普拉斯问题，标准有限元法需满足狄利克雷边界条件的函数空间：
[V = { \phi \in H^1 | \phi| {\Gamma} = u_e }]
其弱形式为：找到 (u \in V)，使得
[\int {\Omega} \kappa(x) \nabla v \cdot \nabla u d\Omega = \int_{\Omega} f v d\Omega]
对于所有 (v \in V_0 = { \phi \in H^1 | \phi|_{\Gamma} = 0 })。

Nitsche 方法