5、有限元方法中的时间离散、积分及误差估计

有限元方法中的时间离散、积分及误差估计

1. 时间离散化

在有限元方法中，时间离散化是一个重要的环节。对于时间离散化，我们从以下几个方面进行探讨。

1.1 一般时间离散公式

首先，我们有如下公式：
[u(t_k) = u(t_{k+\gamma_P}) + \dot{u}(t_{k+\gamma_P}) (-\gamma_P\Delta t) + \ddot{u}(t_{k+\gamma_P}) \frac{(-\gamma_P\Delta t)^2}{2}+O((-\gamma_P\Delta t)^3)]
以及在 (t = t_{k+1}) 时：
[u(t_{k+1}) = u(t_{k+\gamma_P}) + \dot{u}(t_{k+\gamma_P}) ((1 -\gamma_P)\Delta t) + \ddot{u}(t_{k+\gamma_P}) \frac{((1 -\gamma_P)\Delta t)^2}{2}+O(((1 -\gamma_P)\Delta t)^3)]
由此，我们得到 (u(t_{k+1}) - u(t_k)) 的表达式，用于近似时间导数：
[u(t_{k+1}) - u(t_k) = \dot{u} \Delta t + \ddot{u} \frac{\Delta t^2 -2\gamma_P\Delta t^2}{2} + O(\Delta t^3)]
从这个式子可以清晰地看出，只有当 (\gamma_P = 0.5)（Crank - Nicolson 方法）时，我们才能得到二阶时间离散化方案，其他选择则为一阶精度。

1.2 双曲型微分方程的时间离散