【DSP】chp—3、离散时间系统（全面详细分析，草履虫都能看懂）_离散时间系统的频域描述方法有-优快云博客

离散系统：
- 数学表达方式：主要通过差分方程描述。
- 处理方法：采用卷积方法，以及转移函数（利用Z变换）和频率响应（DTFT、DFT）来描述和分析系统特性。
连续系统：
- 数学表达方式：以微分方程为主。
- 处理方法：使用连续时间的卷积、通过Laplace变换得到转移函数，以及利用Fourier变换求取频率响应。

2、离散系统的数学描述与表达方式

（1）差分方程

基本思想：离散系统的输出往往与当前输入和过去输出之间存在一定的递推关系。例如：
- 差分方程来描述，其一般形式为
  
  其中：
  - $y[n]$ 表示系统在离散时刻 $n$ 的输出；
  - $x[n]$ 表示系统在时刻 $n$ 的输入；
  - $a_0, a_1, \dots, a_N$ 和 $b_0, b_1, \dots, b_M$ 是系统的系数；
  - $N$ 和 $M$ 分别是输出和输入的最大延时阶数。
- 一个简单的一阶差分方程写作：
  $y(n) = a\,y(n-1) + x(n)$
- 框图表示：当前时刻的输出等于上一个时刻的输出乘以一个常数后和当前时刻输入的和。

（2）卷积表达

卷积积分/求和：文档中展示了离散时间卷积求和的形式：

$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \, h[n-k]$

这里，单位抽样响应 $h[n]$ 是系统的特征函数，通过输入单位抽样信号 $\delta[n]$ 得到。

（3）系统的累加表达

累加表达通常指在离散系统中对所有输入信号的贡献进行求和的过程，其数学形式实际上与卷积表达是一致的。在某些教材或讨论中，累加表达强调的是“叠加定理”的应用，即系统的输出为各个输入分量经过系统响应后的累加和。写成公式：

$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \, h[n-k]$

这与卷积表达完全等价，但侧重点不同，更多地强调累积各个时间点的贡献。

直观解释

每个输入样本 $x[k]$ 都会产生一个对应的输出贡献 $x[k] \, h[n-k]$ （注意，这里的 $h[n-k]$ 表示系统在延迟 $n-k$ 时刻对单位脉冲的响应）。
最终系统的输出就是所有这些贡献的累加和，这也正是累加表达的核心思想。

对于因果系统：

$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k] \, h[n-k]$

3、单位抽样响应与系统分析

（1）单位抽样响应（Impulse Response）

定义与作用：若对离散系统输入单位抽样信号 $\delta(n)$ ，则系统的输出 $h(n)$ 就称为单位抽样响应。这是描述离散系统特性的一个“物理量”，通过 $h(n)$ 可以进一步获得系统的频率响应 $H(z)$ ， $H(e^{j\omega })$ 、稳定性等重要信息。

（2）条件限制

因果性要求：在实际物理系统中，通常要求当 $n<0$ 时， $h(n)=0$ （即系统为因果系统），这保证了系统的输出仅依赖于当前和过去的输入，不涉及未来的输入数据。

4、IIR系统与FIR系统

（1）IIR系统（Infinite Impulse Response）

特性描述：
- 利用差分方程的递归形式描述。
- 系统的单位抽样响应 $h(n)$ 在理论上具有无限长的尾部，即冲激响应无限延展。
- 示例表达式如：
  $y(n) = a\,y(n-1) + x(n)$
  这类系统在设计时需要关注稳定性问题。

（2）FIR系统（Finite Impulse Response）

特性描述：
- 单位抽样响应 $h(n)$ 仅在有限个时刻内非零，后续均为零。
- 表达式通常为：
  $y(n) = b_0\,x(n) + b_1\,x(n-1) + \cdots + b_M\,x(n-M)$
- FIR系统设计上更容易保证系统稳定性，并且常用于滤波器设计。

这里通过对比IIR和FIR系统，展示了它们在性能、设计方法及稳定性等方面的根本差别，为后续深入研究和实际应用提供了理论基础。

5、离散时间系统的基本属性

（1）线性（Linearity）

定义：线性系统满足叠加原理，即对于任意两个输入 $x_1(n)$ 与 $x_2(n)$ ，以及任意系数 $\alpha$ 与 $\beta$ ，系统满足：
$T[\alpha x_1(n) + \beta x_2(n)] = \alpha T[x_1(n)] + \beta T[x_2(n)]$

（2）移不变性（Shift Invariance）

定义：移不变性说明系统对时间的平移不敏感，即如果输入信号平移 $k$ 个单位，则输出也将相应平移 $k$ 个单位：
$T[x(n-k)] = y(n-k)$
这一性质对于简化系统分析和实现滤波器设计具有重要意义。

（3）因果性（Causality）

要求：实际系统要求因果性，即系统的当前输出只依赖于当前以及过去的输入，而不依赖未来输入：
$y(n) = f(x(n), x(n-1), \ldots)$

（4）稳定性（Stability）

BIBO 稳定性：当输入信号有界时，系统的输出也必须有界。这一条件通常用数学表达式说明，即对于所有满足 $|x(n)| \leq R$ 的输入，输出满足 $|y(n)| \leq Q$ ，其中 $R, Q$ 为有限常数。

这四个基本属性是分析离散系统性能的重要依据。

二、z 变换

1、定义

（1）离散信号与连续变换的关系

拉普拉斯变换与傅里叶变换的背景
首先回顾连续信号的拉普拉斯变换（ $s=\sigma +j\omega$ ），傅里叶变换实际上是拉普拉斯变换在虚轴上（ $s=j\omega$ ）的特例。这为后续讨论离散信号提供了对比基础。
离散信号的积分与求和
由于离散信号不连续，无法直接积分，通过对信号的抽样模型引入狄拉克δ函数，将积分与求和相结合，从而得到离散信号的 Z 变换表达式。

（2）Z变换的数学表达式

基本公式
经过变量替换和积分求和交换后，离散信号 $x(n)$ 的 Z 变换定义为：
$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) z^{-n}$
这里 $z$ 是复数变量，与 s 平面中的复变量通过 $z=e^{sT}$ 建立联系。
积分与求和交换的条件
只要积分与求和后的结果收敛，这种交换是允许的，这为后续理论分析提供了数学基础。

2、连续域与离散域的对应关系

（1）s 平面与 z 平面的映射

映射关系
s 平面到 z 平面的映射关系：
- s 平面的虚轴（jω轴）对应于 z 平面的单位圆。
- s 平面左半平面的点映射到 z 平面的单位圆内，而右半平面的点映射到单位圆外。
映射的不唯一性
由于s 平面的虚轴上每隔 $2\pi$ 会重复映射到 z 平面的相同位置，离散信号的频谱呈周期性，即 jΩ 轴上每隔 $2\pi f_s$ 就映射为 z 平面单位圆的一周。这也是离散傅里叶变换周期性的根本原因。

3、收敛域 ROC

（1）收敛域的定义

Z变换的级数收敛条件
由于 Z 变换是一个幂级数，它的收敛性不仅取决于 $x(n)$ 本身，还依赖于 $z$ 的模长。ROC 具有“圆”或“环”的几何形状。

（2）不同信号类型的 ROC

有限长序列
对于有限长序列，ROC 通常为整个 z 平面（除去可能的孤立点）。
右边无限长序列（因果序列）
ROC 为一个从某一有限模长向外延伸的区域（外部圆盘：作用，正半轴时衰减原信号）。
左边无限长序列（反因果序列）
ROC 为从某一有限模长向内延伸到原点的区域（内部圆盘：在负半轴时就是衰减原信号）。
双边无限长序列
ROC 通常为两个模长之间的环形区域。（也有可能没有可行域）

4、Z 变换的基本性质

Z 变换作为离散信号处理中的核心工具，其一系列性质使得系统分析、滤波器设计以及信号恢复等问题可以得到简化和系统化的解决。主要性质包括：

（1）线性性质

定义：若有两个离散序列 $x_1(n)$ 和 $x_2(n)$ ，以及常数 $\alpha$ 和 $\beta$ ，它们的 Z 变换分别为 $X_1(z)$ 和 $X_2(z)$ 。则对于任意线性组合， $Z\{\alpha x_1(n) + \beta x_2(n)\} = \alpha X_1(z) + \beta X_2(z)$
意义：这一性质体现了 Z 变换满足叠加原理，在分析复合系统时，可以将各个部分分别求变换再叠加，从而简化计算过程。

（2）时间移位性质

定义：对于一个序列 $x(n)$ 及其 Z 变换 $X(z)$ ，当序列整体延迟 $k$ 个采样时， $Z\{x(n-k)\} = z^{-k} X(z)$
说明：
- 若 $k > 0$ 表示延迟，若 $k < 0$ 表示提前。
- 这一性质是分析数字滤波器中单位延迟器的重要工具，能够直观地描述信号经过延迟操作后在 Z 域中如何表现。

（3）指数加权（调制）性质

定义：对序列乘以指数权函数 $a^n$ 后， $Z\{a^n x(n)\} = X\left(\frac{z}{a}\right)$
意义：指数加权可以改变序列的收敛区域（ROC），同时在频域中表现为变量的比例伸缩，这对系统的稳定性分析具有实际意义。

（4）线性加权性质（微分性质）

定义：对 Z 变换函数 $X(z)$ 关于 $z$ 求导，可以得到关于原序列 $x(n)$ 的加权求和： $-z \frac{dX(z)}{dz} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} n\, x(n) \,z^{-n}$
说明：这一性质为计算序列的“中心矩”或者其他与时间相关的指标提供了一种直接方法，同时也为初值和终值定理的证明奠定了基础。

（5）初值定理

定义：对于因果序列 $x(n)$ （即 $x(n)=0$ 对 $n<0$ ），其初值可以通过： $x(0) = \lim_{z \to \infty} X(z)$
应用：在不知道时域表达的情况下，可以借助初值定理快速得到序列的初始状态，对于动态系统的瞬时响应分析非常有用。

《初值定理详细分析见附录1》

（6）终值定理

定义：终值定理用于求因果序列的稳态值。当极点满足一定条件（例如系统稳定时），有： $x(\infty )=\lim_{n \to \infty} x(n) = \lim_{z \to 1} (z-1)X(z)$
说明：这一方法允许直接从 Z 域函数中得到序列的长期行为，对系统稳定性及稳态误差的分析提供了简便途径。

《终值定理详细分析见附录2》

利用 Z 变换的初值定理和终值定理可以帮助我们在不求出逆 Z 变换的情况下方便地得到序列的初值x(0)和终值x(∞)。

（7）卷积性质

定义：如果两个序列 $x(n)$ 与 $h(n)$ 的卷积记为 $y(n) = x(n) * h(n)$ ，则在 Z 域中有： $Y(z) = X(z) \cdot H(z)$
意义：这一性质表明时域卷积运算对应于 Z 域的乘法运算，大大简化了信号处理中的滤波器设计、系统级联等问题，是设计和分析数字滤波器的重要理论依据。

5、逆 Z 变换

逆 Z 变换是将 Z 域表示还原为时域序列的过程，有三种常见方法：

（1）幂级数法（长除法）

原理：利用 $X(z)$ 的幂级数展开，即写成 $X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) z^{-n}$ 然后通过长除法或幂级数展开的方式求得各个系数 $x(n)$ 。

$X(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = x_0 + x_1 z^{-1} + \cdots + x_n z^{-n}\Rightarrow x(n)$

优点：
- 对于表达式较简单或可以展开为幂级数的情况非常直接；
- 计算过程中可以逐项求得时域序列。
局限性：当 $X(z)$ 表达复杂或存在多个极点时，展开过程可能较繁琐。

（2）部分分式展开法

原理：将 $X(z)$ 分解为多个简单分式之和。例如，对于有理函数形式的 $X(z)$ ，可以进行部分分式展开： $X(z) = \sum_i \frac{C_i}{1 - a_i z^{-1}}$ 每一项对应的逆变换已知为 $C_i\, a_i^n u(n)$ （对因果序列），其中 $u(n)$ 是单位阶跃函数。

$X(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{A}{z - a} + \frac{B}{z - b} + \cdots + \frac{C_1}{z - c} + \frac{C_2}{(z - c)^2}$

优点：
- 适用于具有简单极点的情形，计算过程简洁；
- 方便利用标准查表法直接给出时域结果。
注意事项：
- 要特别关注每个分式对应的 ROC，从而确定逆变换结果是否唯一；
- 当存在重复极点时，需要引入多项式系数进行修正。

（3）留数法

原理：利用复变函数理论，通过计算 $X(z)z^{n-1}$ 在适当闭合路径内的留数来求得 $x(n)$ 。其基本公式为： $x(n) = \frac{1}{2\pi j} \oint_C X(z) z^{n-1} dz$ 积分路径 $C$ 必须包围所有在 ROC 内的极点。
步骤：
- 确定 $X(z)$ 的所有极点及其阶数；
- 根据留数定理计算各个极点处的留数；
- 将各个留数求和得到 $x(n)$ 。
优点：
- 方法较为通用，可以处理复杂极点及多重极点问题；
- 对于理论推导和分析系统特性具有很高的严谨性。
局限性：
- 对数学基础要求较高，计算过程涉及较复杂的复变函数理论；
- 实际计算时容易因路径选择和留数计算出错，需要仔细核对条件。

三、离散时间系统的频域分析

1、LSI系统的频率响应

LSI系统：线性移不变系统。

（1）从时域卷积到频域相乘

1.1 LSI 系统的输入输出关系

对于一个线性平移不变（LSI）系统，若其脉冲响应为 $h(n)$ ，则对任意输入 $x(n)$ ，输出 $y(n)$ 可表示为时域卷积： $y(n) = x(n)*h(n) \;=\; \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(k)\,h(n-k)$
这在频域中（通过离散时间傅里叶变换）表现为输入频谱与系统频率响应的乘积： $Y(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega}) \cdot H(e^{j\omega})$

当输入是离散复指数 $x(n)=e^{j\omega n}$ 时，输出也会保留相同的“指数形式” $e^{j\omega n}$ ，但被一个复数因子 $H(e^{j\omega})$ 调制。即输出为 $y(n)=e^{j\omega n}H(e^{j\omega})$

（2）频率响应的定义及其获取方式

2.1 频率响应的定义

对 LSI 系统的脉冲响应 $h(n)$ 做离散时间傅里叶变换（DTFT），即：
$H(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h(n) \, e^{-j\omega n}$
如果系统因果（即 $h(n)=0$ 对 $n<0$ ），则上式求和下限可以改为 0。
频率响应告诉我们：系统在不同频率 $\omega$ 下对输入信号会产生怎样的幅度和相位变换。

2.2 与 Z 变换的关系

Z 变换定义为 $H(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h(n)\,z^{-n}$
若取 $z=e^{j\omega}$ （即在复平面的单位圆上），则 $H(e^{j\omega}) = H(z)\Big|_{z=e^{j\omega}}$ , 这说明频率响应是 Z 变换在单位圆上的截面。

如果输入信号是 $e^{j\omega n}$ ，输出包含与输入同频率的复正弦分量，但被复函数 $H(e^{j\omega})$ 调制。于是我们就可以把系统特征“打包”到这个函数 $H(e^{j\omega})$ 中。

（3）例子：余弦输入的幅相变化

3.1 实值正弦输入

若输入 $x(n) = \cos(\omega n)$ ，可视作实部 $\mathrm{Re}\{e^{j\omega n}\}$ 。经过系统后，输出会在同频率 $\omega$ 上被一个复数因子 $H(e^{j\omega})$ 调制。
从复数形式看：
$x(n) = \cos(\omega n) = \mathrm{Re}\{e^{j\omega n}\}$
系统输出
$y(n) = \mathrm{Re}\big\{ e^{j\omega n} \cdot H(e^{j\omega}) \big\}$

3.2 幅值和相位的变化

若把写成极坐标形式，则，由此可见：
1. 幅度变化：正弦输入被放大或衰减了一个系数 $|H(e^{j\omega})|$
2. 相位变化：信号被附加了相移 $\phi(\omega)$

若 $x(n)=\cos(\omega n)$ ，输出会变为 $\cos(\omega n+\phi(\omega))$ 并且幅度被 $|H(e^{j\omega})|$ 调整。这就是 LSI 系统对不同频率分量做出的响应特征。

（4）三个重要域：时域、频域与复域

4.1 时域： $h(n)$

脉冲响应 $h(n)$ 在时域完全描述了 LSI 系统的特性。
当我们想知道系统在时域对各种输入信号的响应时，卷积是最直接的运算手段。

4.2 频域： $H(e^{j\omega})$

频率响应 $H(e^{j\omega})$ 在频域描述系统对各个离散频率 $\omega$ 的放大和相位偏移。
在滤波器设计、信号频谱分析等场景下，直接查看幅频特性 $|H(e^{j\omega})|$ 和相频特性 $\angle H(e^{j\omega})$ 是非常高效的方法。

4.3 复域： $H(z)$

Z 变换 $H(z)$ 更全面地描述了系统的极点和零点分布，可用于分析系统的因果性、稳定性等。
当只关心在单位圆上的行为时，则回到了频率响应 $H(e^{j\omega})$ 。

2、滤波的基本概念

目的：去除噪声，或不需要的成分

原理：信号通过线性系统输入—输出的关系

线性滤波的原理：

$\omega_c$ ：滤波器的截止频率
图中的滤波器是理想滤波器，不可实现。
滤波器的类型：LP（低通），HP（高通），BP（带通），BS（带阻），多通带。
模拟滤波器：R、L、C，运算放大器。

3、LSI系统的极/零点分析

（1）离散时间系统的频域分析及传递函数表达

离散时间线性移不变（LSI）系统在频域分析中的核心工具——极零分析。对于 LSI 系统，其传递函数 $H(z)$ 可以写成以下两种等价的形式：

直接形式

$Y(z) = H(z)X(z)$

其中

$H(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h(n)z^{-n}$

有理分式形式
表示为分子、分母多项式的比值：

$H(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{\sum_{r=0}^{M} b_r z^{-r}}{\sum_{k=0}^{N} a_k z^{-k}}$

或写成等价的形式：

$H(z) = G \cdot \frac{(z - z_1)(z - z_2)\cdots (z - z_M)}{(z - p_1)(z - p_2)\cdots (z - p_N)}$

其中 $z_r$ 为使分子多项式为零的点（零点）， $p_k$ 为使分母多项式为零的点（极点）。

此外，为了保证系统多项式系数为实数，当存在复数极或零点时，它们必定以共轭对出现：

$z_r = \alpha + j\beta$ 与 $z_r^* = \alpha - j\beta$

（2）极零分析在系统特性判断中的应用

文档详细讨论了利用极零图对离散时间系统进行分析的几大主要任务：

2.1 系统基本特性判断

给定系统 $H(z)$ 或 $h(n)$ 后，可通过极零分析判断：

线性与移不变性
稳定性：主要有以下稳定性判别条件
- 判别条件1：系统冲激响应的绝对和有限，即 $\sum_{n=0}^{\infty} |h(n)| < \infty$
- 判别条件2：对于因果系统，所有极点必须满足 $|p_k| < 1$ 。
- 判别条件3：系统的收敛域必须包含单位圆（ $|z|=1$ ）。因果系统收敛域红圆以外，红圆最大只能和单位圆一样大，因为单位元必须在收敛域：

2.2 幅频特性判断

通过将 $z = e^{j\omega}$ 带入 $H(z)$ 得到频率响应：

$H(e^{j\omega}) = \frac{\prod_{r=1}^{M} \left(e^{j\omega} - z_r\right)}{\prod_{k=1}^{N} \left(e^{j\omega} - p_k\right)} \cdot G$

当某个极点 $p_k$ 靠近单位圆时，分母 $\left|e^{j\omega} - p_k\right|$ 较小，对应频率处的幅值被放大（共振现象）。
相反，当某个零点 $z_r$ 靠近单位圆时，分子 $\left|e^{j\omega} - z_r\right|$ 较小，对应频率处的幅值会衰减。

由此可以设计出各种滤波器：

低通滤波器：要求在低频（ $\omega$ 接近 0）时幅值较大，高频处（ $\omega \approx \pi$ ）则通过在高频附近布置零点或使极点远离单位圆来降低幅值。
高通滤波器：要求在高频处幅值较大，在低频附近布置零点。
带通与带阻滤波器：则是在特定频带内利用极点和零点的相对位置实现增益或衰减的效果，并注意由于数字系统的周期性（ $2\pi$ ），滤波器的频率响应具有周期性。

2.3 相频特性判断

相频响应由 $H(e^{j\omega})$ 的相位决定：

$\angle H(e^{j\omega}) = \sum_{r=1}^{M} \angle\left(e^{j\omega} - z_r\right) - \sum_{k=1}^{N} \angle\left(e^{j\omega} - p_k\right) + \angle G$

极零分布不仅影响幅频响应，还决定了相频响应的变化，当极点、零点呈对称或特定排列时，有可能实现线性相位或最小相位滤波器设计。

（3）极零分析的一般准则

极零分析在滤波器设计或系统分析中的一般规律：

若在某个 $\omega_0$ 处单位圆上安放了一个零点，则该频率 $\omega_0$ 处幅度会衰减到 0（出现陷波）。
若在某个 $\omega_0$ 处附近有极点，则该频率 $\omega_0$ 处会产生共振或幅度峰值。
设计低通滤波器时， $\omega=0$ （ $z=1$ ）附近一般不放零点（希望低频通过），而可以在高频附近放置零点以衰减高频。
设计高通滤波器时， $\omega=\pi$ （ $z=-1$ ）附近一般不放零点（希望高频通过），而可以在低频附近放置零点以衰减低频。
像 $z=0$ 这样的极点/零点往往更显著地影响相位（因为它在极坐标原点），对幅度影响可视情形而定；具体还要看是否有与之对应的因果/反因果性质、ROC 分布等。

对于因果系统，在单位圆上，从 $\omega=0$ 逆时针到 $\omega=\pi$ ，对应着从低频到高频；在实轴往右走，对应着对系统对原始信号能量的削减越来越强，

（4）实际例题与极零图分析

4.1 示例1

系统 $y(n) = x(n) - 4\,x(n-1) + 4\,x(n-2)$

i、差分方程与传递函数

给定离散差分方程：

$y(n) \;=\; x(n)\;-\;4\,x(n-1)\;+\;4\,x(n-2)$

取 $Z$ 变换后，系统传递函数 $H(z)$ 为

$H(z) \;=\; \frac{Y(z)}{X(z)} \;=\; 1 - 4z^{-1} + 4z^{-2}$

若想以更直观的“多项式在 $z$ 上”的形式表示，可以乘以 $z^2$ （相当于将因果系统写成“正幂”形式）：

$z^2\,H(z) \;=\; z^2 - 4z + 4 \;\;\Longrightarrow\;\; H(z) \;=\; \frac{z^2 - 4z + 4}{z^2}$

观察分子多项式：

$z^2 - 4z + 4 \;=\; (z - 2)^2$

故可得

$H(z) \;=\; \frac{(z - 2)^2}{z^2}$

零点（Zeros）： $z=2$ ，而且是二阶重零点（双零）。
极点（Poles）： $z=0$ ，也是二阶重极点（双极）。

ii、极零分布及系统稳定性

在极零图中，零点 $z=2$ 位于单位圆外（ $|2|>1$ ），而极点 $z=0$ 位于单位圆内（ $|0|=0<1$ ）。
由于这是一个FIR形式的系统（分母仅是 $z^2$ 的因果延时因子），本质上并不会出现无限长的冲激响应，因而系统必定是 BIBO 稳定 的。更直观地看，因果系统的 ROC 为 $|z|>0$ ，包含单位圆，所以系统稳定。

iii、幅频与相频响应

令 $z=e^{j\omega}$ ，则

$H(e^{j\omega}) =\frac{(e^{j\omega}-2)^2}{(e^{j\omega})^2} = \left(e^{j\omega}-2\right)^2\,\bigl(e^{-j\omega}\bigr)^2 = \bigl|\,e^{j\omega}-2\,\bigr|^2 \,\cdot e^{-j2\omega}$

其中幅度部分是

$\bigl|\,H(e^{j\omega})\bigr| = \bigl|\,e^{j\omega}-2\,\bigr|^2$

当 $\omega=0$ 时， $e^{j0}=1$ ，距离 $|1-2|=1$ ，幅度 $\bigl|H(e^{j0})\bigr|=1$ 。
当 $\omega=\pi$ 时， $e^{j\pi}=-1$ ，距离 $|-1-2|=3$ ，幅度 $\bigl|H(e^{j\pi})\bigr|=3^2=9$ 。
整体来看，随着 $\omega$ 增加， $|e^{j\omega}-2|$ 会变大，所以在中高频段幅值更高，表现出高通或带阻不明显的特征。

相频方面，主要由分子 $(z-2)^2$ 与分母 $z^2$ 各自的相位差决定。由于分子零点在实轴正方向的 2 点，随着 $\omega$ 从 0 增至 $\pi$ ， $\angle(e^{j\omega}-2)$ 会发生较大变化；分母则带来一个 $-2\omega$ 的线性相位偏移（因为 $(e^{j\omega})^2 = e^{j2\omega}$ ，倒数是 $e^{-j2\omega}$ ）。因此整体相位随频率会出现一定的“下移”趋势。 $\varphi (e^{i\omega })=2\varphi _{1}-2\varphi _{2}$

小结：此系统为一个二阶 FIR，极点在原点（单位圆内），零点在 z=2（单位圆外）。它在低频时幅度相对较小，高频处增益显著变大，因此可视为一种“增强高频分量”的滤波器。

思考：

看这个零点，它带来的是幅度的衰减，明显他在右侧（低频区），但它又不在单位圆上，所以他对低频相对于高频来说会有削减，但削减的不太严重，（零点越往右对低频的相对削减就越不明显，当它到右侧无穷远处时，它对低频和高频的影响就都几乎一样了），当它到右侧无穷远处时，如果只考虑单零点，它对低频和高频都是增强的，而且都增强到了正无穷，但实际情况并不是单零点的。

这意味着：就这个单因子而言，高频( $\omega=\pi$ )比低频( $\omega=0$ )“幅度更大”，所以如果它是系统唯一的因子，就会相对抑制低频、提升高频——看起来像一个“高通”趋势。

当零点距离单位圆越来越远

若我们把零点改成 $z_0 = R$ 并让 $R$ 变大，例如 10、100，甚至无穷大，再做同样计算：

$H(z) = 1 - R\,z^{-1}, \quad H(e^{j\omega}) = 1 - R\,e^{-j\omega}$

$\omega=0$ 时：
$|1 - R| = |R - 1|$
$\omega=\pi$ 时：
$|1 + R| = R + 1$

当 R 很大时，“ $|R - 1|$ ” 和 “ $R + 1$ ” 这两个值非常接近（它们之间的相对差距越来越小）。

比如 $R=10$ 时，DC 处幅度 $\approx 9$ ， $\omega=\pi$ 处幅度 $\approx 11$ ；它们相差 2，相对比起来差距大约 22%。
$R=100$ 时，分别是 99 和 101，差距 2，相对差距仅 2%。
当 $R \to \infty$ ，两者都 $\approx R$ ，相差相对趋近 0%，意味着在各频率点的幅度几乎都差不多——对整个频段影响变得很平坦。

因此

“零点越往右对低频的相对削减就越不明显，当它到右侧无穷远处时，它对低频和高频的影响就都几乎一样了”
在定性上是对的：当零点远离单位圆时，各频率之间的幅度差异变小。

4.2 示例2

给定三个系统 $H_0(z), H_1(z), H_2(z)$

给出三个具体系统的形式，并列出了它们各自的冲激响应 $h(n)$ 、极零图以及幅频响应 $\bigl|H(e^{j\omega})\bigr|$ 。文档示意图大致如下（以示例形式）：

$H_0(z) = a \frac{1 + z^{-1}}{1 - pz^{-1}}$
$H_1(z) = b \frac{1 - z^{-1}}{1 - pz^{-1}}$
$H_2(z) = c \frac{(1 + z^{-1})(1 - z)}{(1 - re^{j\alpha}z^{-1})(1 - re^{-j\alpha}z^{-1})}$

第一个： $H_0(z) = a \frac{1 + z^{-1}}{1 - pz^{-1}}$

分子 $1 + z^{-1}$ 表示有一个零点在 $z=-1$ 。这往往意味着对 $\omega=\pi$ 附近有抑制（ $\omega=\pi$ 时 $e^{j\pi}=-1$ ，可使分子变为 0）。
分母表示极点在。
- 若 $|p|<1$ ，则极点在单位圆内，系统稳定。
- 具体是低通还是高通，要看 p 在单位圆内部的位置：
  - 若 p 接近 1（实轴正方向），则在 $\omega=0$ 附近幅度放大，类似低通；
  - 若 p 接近 -1，则在 $\omega=\pi$ 附近放大；也可能形成带阻/带通效果。
从图中可以看到：若 $|p|$ 较小，极点离圆心近，则对整体幅频影响有限；若 $|p|$ 较大且还在单位圆内，影响就更显著。

第二个： $H_1(z) = b \frac{1 - z^{-1}}{1 - pz^{-1}}$

分子为 $(1+z^{-1})^2$ ，表示有一个双零点在 $z=-1$ 。
该系统没有除因果延时以外的分母多项式，所以极点在 $z=0$ （若仅考虑 FIR 实现则极点是“被动的”）。
对频率 $\omega=\pi$ 处，会出现更强的衰减（因为是二阶零点），因此 $\omega=\pi$ 处幅度为 0，且衰减更陡。
该系统的冲激响应是一个有限序列（FIR），大多呈现对称或接近对称形式，频率响应在 $\omega=\pi$ 处“凹”下去，幅度为 0。

第三个： $H_2(z) = c \frac{(1 + z^{-1})(1 - z)}{(1 - re^{j\alpha}z^{-1})(1 - re^{-j\alpha}z^{-1})}$

第三列的系统在图中可以看到：
- 冲激响应 $h(n)$ 呈衰减振荡；
- 极零图上可能有若干对复极点位于单位圆内；
- 幅频响应在某一带宽出现峰值或凹陷。
具体表达式文档里未完全给出，但可以从图中判断：若极点靠近单位圆且在某个角度 $\theta$ 附近，则会在 $\omega \approx \theta$ 处产生增益峰；零点靠近单位圆则会在对应频率处产生衰减谷。

（5）数字微分器与积分器

数字信号处理中常用的两个运算器——微分器（差分器）和积分器，下面分析它们在频域上的特性：

5.1 数字微分器（差分器）

连续微分器：
理想微分器的传递函数为

$H(s) = s$ ，其频率响应为 $H(j\Omega)=j\Omega$

离散实现：
对于离散信号，微分操作用差分器来近似。理想的数字差分器要求幅频响应在 $[-\pi, \pi]$ 内呈线性增长，即

$H(e^{j\omega}) \approx \frac{j\omega}{\pi}, \quad \omega \in [-\pi, \pi]$

但由于高频部分噪声易被放大，且在很多领域的信号频率往往都比较低，实际设计时常采用低通差分器来平衡噪声和微分精度。

实际差分器实现：
如最简单的两点差分器

$y(n) = x(n) - x(n-1)$

或更复杂的有限长差分器，其传递函数可写成

$H_d(e^{j\omega}) = \sum_{k=-M}^{M} C_k e^{-j\omega k}$

文档中给出具体的实现公式和差分方程，从极零角度分析如何实现预期的幅频与相频特性。

5.2 数字积分器

连续积分器：
理想积分器的传递函数为 $H(s) = \frac{1}{s}$ , 对应于对信号进行时间积分。

离散实现：
数字积分器常用数值积分法实现，如矩形法或梯形法。文档中给出了积分器的数值实现公式：

$y(n) = \frac{T}{2}[x(n) + x(n-1)] + y(n-1)$

同时利用双线性 Z 变换建立了连续域 $s$ 与离散域 $z$ 的关系：

$z = \frac{1 + \frac{sT}{2}}{1 - \frac{sT}{2}}$ 或 $s = \frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}$

这种变换保证了积分器在离散域内的稳定性及频率响应的良好逼近。

4、LSI系统的相频响应

（1）幅频响应与相频响应

1.1 基本定义

幅频响应：描述系统对各频率分量增益的影响，通常记为 $|H(e^{j\omega})|$ 。
相频响应：描述系统对各频率分量相位变化的影响，记为 $\varphi(\omega) = \angle H(e^{j\omega})$ 。

文档中首先列出了两者的基本表达式，并给出了相位响应的具体计算公式，例如：

$H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|e^{j\varphi(\omega)}$

这为后续讨论系统的线性相位和相位延迟等概念奠定了基础。

1.2 线性相位条件

线性相位定义：当相频响应可以写成 $\varphi(\omega) = -k\omega$ 或 $\varphi(\omega) = -k\omega + \beta$ 其中 $k$ 与 $\beta$ 为常数时，称该系统具有线性相位。

意义：具有线性相位的系统，输出信号只是输入信号的简单延时（移位）的结果，不会引入波形失真。这一点在文档中通过推导与实例说明，如当输入信号为窄带信号时，载波部分延迟由相位延迟给出，而信号包络延迟由群延迟决定。

（2）相位失真及实例分析

2.1 相位失真概念

相位失真：如果系统的相频响应不是严格线性的，则各频率分量经过不同的延时后组合，输出信号就会发生畸变，这种现象称为相位失真。
文档通过对比具有线性相位和非线性相位的系统，展示了输出信号波形的差异，强调了线性相位在保持信号形状方面的重要性。

2.2 实例分析

文档给出了两个实例：

实例一（无相位失真）：

设系统的冲激响应为某种对称组合（例如利用余弦函数构造的对称序列），经过傅里叶变换后得到的 $H(e^{j\omega})$ 具有形式：

$H(e^{j\omega}) = e^{-j k \omega}$

相频响应： $\varphi(\omega) = -k \omega$
这是一条关于 $\omega$ 的线性函数，因此系统具有线性相位。
输入信号为： $x(n) = \cos(\omega_0 n) + \cos(2\,\omega_0 n)$ ，包含两个正弦分量，频率分别是 $\omega_0$ 和 $2\,\omega_0$ ，
系统对每个频率分量的相位变化都遵循同一个规律： $-k\,\omega$ 。
对频率 $\omega_0$ 的分量： $\cos(\omega_0 n) \;\longrightarrow\; \cos\bigl[\omega_0 (n - k)\bigr]$
对频率 $2\,\omega_0$ 的分量： $\cos(2\,\omega_0 n) \;\longrightarrow\; \cos\bigl[2\,\omega_0 (n - k)\bigr]$

因此输出： $y_1(n) = \cos[\omega_0(n - k)] + \cos[2\,\omega_0(n - k)]$ . 这说明每个频率分量都经历相同的时间延迟 $k$ 。

没有相位失真：因为系统为线性相位（ $\varphi(\omega)\propto \omega$ ），对所有频率分量施加相同的“时延”效果。输入信号只是整体平移了 $k$ 个采样点，波形形状并未被破坏。

实例二（发生相位失真）：

        设系统的冲激响应经过傅里叶变换后得到的 $H(e^{j\omega})$ 具有形式：

                                                                 $H(e^{j\omega}) = e^{-j\varphi(\omega)}$

其中，相位函数是分段的：

                                                 $\varphi(\omega) = \begin{cases} \pi/4, & 0 \le \omega \le 3\omega_0/2,\\[4pt] \pi, & 3\omega_0/2 < \omega \le \dots \end{cases}$

输入信号为： $x(n) = \cos(\omega_0 n) + \cos(2\,\omega_0 n)$ ，包含两个正弦分量，频率分别是 $\omega_0$ 和 $2\,\omega_0$ ，

由于系统的相位函数 $\varphi(\omega)$ 在 $\omega=\omega_0$ 和 $\omega=2\,\omega_0$ 处不相同，会导致这两个分量被施加不同的相位偏移。
假设 $\omega_0$ 落在相位段 1，对应相位偏移是 $-\pi/4$ ，而 $2\,\omega_0$ 落在相位段 2，对应相位偏移是 $-\pi$ 。则： $\cos(\omega_0 n)\;\longrightarrow\;\cos(\omega_0 n - \pi/4)$ , $\cos(2\,\omega_0 n)\;\longrightarrow\;\cos(2\,\omega_0 n - \pi)$
输出信号因此变为： $y_2(n) = \cos(\omega_0 n - \pi/4) + \cos(2\,\omega_0 n - \pi)$

发生了相位失真：两个频率分量分别获得了不同的相位偏移，不能统一用一个“时间延迟”来表示。也就是说， $\omega_0$ 分量相位移动 $\pi/4$ 而 $2\,\omega_0$ 分量相位移动 $\pi$ ，这并不等效于一个简单的时移。

结果：输出信号整体波形与输入信号相比已被改变，不能看作“平移”关系，因此出现失真。

两个示例中的信号波形：

（3）群延迟与相位延迟

3.1 相位延迟（Phase Delay）

定义与数学表达

定义：相位延迟描述的是系统对某个频率分量施加相位偏移后，相当于该分量在时域上被延迟了多长时间。
数学表达：如果系统的频率响应写作 $H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})| e^{j\varphi(\omega)}$ , 那么相位延迟定义为 $\tau_p(\omega) = -\frac{\varphi(\omega)}{\omega}$ . 其中， $\varphi(\omega)$ 是相频响应， $\omega$ 是角频率。

物理意义

解释：相位延迟给出了一个频率分量在经过系统后，其相位变化所对应的“等效”时延。
作用：对于单一正弦波或窄带信号来说，相位延迟描述了该频率分量被整体平移（延迟）的时间。例如，当系统具有严格的线性相位 $\varphi(\omega) = -k\omega$ 时， $\tau_p(\omega) = -\frac{-k\omega}{\omega} = k$ , 说明所有频率分量都被延迟 $k$ 个采样点，信号波形不发生畸变。

应用场景

窄带信号：对于仅含有少数频率分量或载波频率较集中的窄带信号，相位延迟反映了载波成分的延迟情况，通常用于精确调控载波信号的相位关系。
系统设计：在要求保持信号波形形状不变的系统设计中，确保各频率分量有相同的相位延迟（即线性相位）是关键。

3.2 群延迟（Group Delay）

定义与数学表达

定义：群延迟描述的是系统对信号包络（或调制信息）的延时特性，它反映了不同频率分量相位变化率的影响。群延迟决定了各频率分量在经过系统后相对于邻近频率的时间间隔，当群延迟为常数时，所有频率成分都延迟了相同的时间 k 。
数学表达：群延迟定义为相频响应对频率求导的负值，即 $\tau_g(\omega) = -\frac{d\varphi(\omega)}{d\omega}$ . 这里的导数反映了相位变化率，也就是相位响应的斜率。

物理意义

解释：群延迟表示当信号包含多个频率成分时，各分量相位变化的不均衡会导致整体信号包络出现的延时。
作用：当群延迟为常数时（即系统具有线性相位），所有频率成分同时被延迟相同的时间，信号的包络不会畸变。
非线性相位的影响：如果群延迟随频率变化较大，不同频率分量的延迟不一致，调制信息（即信号包络）将出现失真，导致信号波形被破坏。

应用场景

宽带或调制信号：对于包含宽频带或调制信息的信号，群延迟尤为重要，因为它决定了信号包络的传输特性，直接影响信号的时域形状。
滤波器设计：在数字滤波器设计中，常常要求群延迟尽可能平坦，以保持信号的波形不失真。

3.3 相位延迟与群延迟的比较

在理想情况（线性相位）下

若系统的相位响应为线性形式： , 则：
- 相位延迟： $\tau_p(\omega) = -\frac{-k\omega + \beta}{\omega} = k - \frac{\beta}{\omega}$ , 对于较高频率时， $\frac{\beta}{\omega}$ 趋于0，此时 $\tau_p(\omega) \approx k$ 。
- 群延迟： $\tau_g(\omega) = -\frac{d}{d\omega}(-k\omega + \beta) = k$
结论：当系统具有严格的线性相位且 $\beta=0$ 时，相位延迟和群延迟均为常数 $k$ ，所有频率分量被等效延迟 $k$ 个单位时间，信号无失真。

在非线性相位情况下

差异产生：如果相位响应不是严格的线性函数，则：
- 相位延迟 $\tau_p(\omega) = -\varphi(\omega)/\omega$ 可能在不同频率下变化，且可能不代表实际包络延迟。
- 群延迟 $\tau_g(\omega) = -\frac{d\varphi(\omega)}{d\omega}$ 更直接反映了相位变化率对信号包络的影响。
实际效果：在非线性相位系统中，群延迟的不均匀性会导致调制信号的各频率分量传输时间不同，从而引起信号的波形畸变和失真。

5、零相位滤波

（1）零相位滤波的目标与意义

在时域中，如果我们希望对输入信号进行滤波而又不改变其波形（即不产生相位失真），就需要在频域中实现零相位响应。理想情况下，滤波器的相频响应应为

$\angle H(e^{j\omega}) = 0$ 或 $\angle H(e^{j\omega}) =$ 常数

这样对各个频率分量都不施加额外的相移，输出信号的波形就能得到最大程度的保真。

（2）方法一：基于对称冲激响应 h(n) 的设计

2.1 滤波器的对称性

如果滤波器的冲激响应满足 $h(n) = h(-n), \quad n = 0, 1, \dots, N-1$ , 则可以证明其频率响应 $H(e^{j\omega})$ 为一个实函数或带有常数相移，从而相位响应为零（或常数）。

2.2 数学推导简述

当 $h(n)$ 对称时，其离散时间傅里叶变换（或 DFT）往往呈现出以下形式：

$H(e^{j\omega}) =\sum_{n=0}^{N-1} h(n) e^{-j\omega n} = h(0) + 2\sum_{n=1}^{(N-1)/2} h(n)\cos(\omega n)$

（假设 N 为奇数）

或相似的展开形式。这是一个与 $\omega$ 的余弦函数叠加，无额外的 jjj 因子，故呈现出实值频率响应。

2.3 非因果性与可实现性

非因果系统：若 $h(n) = h(-n)$ 定义在 $n = 0, \dots, N-1$ 上，就意味着滤波器需要在“当前时刻”之前获得未来的采样值，违反因果性假设。
物理上不可实时实现：因为在实时处理中，系统无法访问“未来”样本。
可用于离线信号处理：在“数据块处理”场景下（如音频后期处理、离线图像处理），可以一次性获取整段信号并进行非因果运算，从而实现零相位滤波。

总结：方法一利用滤波器冲激响应的对称性实现零相位，但付出的代价是滤波器不具备因果性，只能在离线处理场合应用。

（3）方法二：双向滤波（Forward-Backward Filtering）

3.1 基本思路

先对信号做一次正向滤波（如普通的因果滤波器），得到输出 $V(e^{j\omega})$ 。
将该输出信号进行时间反转，再通过同一个滤波器（同样是因果的）进行第二次滤波，得到信号 $W(e^{j\omega})$ 。
最后再对输出进行时间反转复原，即得到最终的零相位滤波结果 $X(e^{j\omega})$ 。

在数学上，如果我们用 $U(e^{j\omega})$ 表示初始输入信号的频谱，滤波器的频率响应为 $H(e^{j\omega})$ ，则经过两次滤波且包含一次时间反转操作后，得到的整体变换可写为

$X(e^{j\omega}) = H(e^{j\omega}) \, H^*(e^{j\omega}) \, U(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|^2 \, U(e^{j\omega})$

这时的相位响应为

$\angle \Bigl[ H(e^{j\omega}) \, H^*(e^{j\omega}) \Bigr] = \angle H(e^{j\omega}) + \angle H^*(e^{j\omega}) = \angle H(e^{j\omega}) - \angle H(e^{j\omega}) =$ $0$

因此最终实现了零相位（或称“线性相位”）的滤波效果。

3.2 实际实现（filtfilt 的思路）

在实际数字信号处理软件中（如 MATLAB 的 filtfilt 函数），就使用了这种方法：
1. 正向滤波；
2. 时间反转；
3. 反向滤波；
4. 再时间反转恢复。
优点：在不改变滤波器原型的情况下，实现零相位失真，保持信号波形完整。
缺点：增加了计算延时和运算量；并且由于要先获取整段信号，依然不能在“严格的实时场景”中使用。
不过，与方法一的“完全非因果”设计不同，这种方法可以在一些“接近实时”的场合使用，前提是可以容忍延迟和双向处理。

3.3 时间代价加倍

双向滤波至少需要两遍滤波处理，加上反转和恢复操作，因此比单次滤波多耗费一倍的处理时间。

6、全通系统

（1）全通系统的定义

全通(All-Pass)系统指的是在所有角频率 $\omega$ 下，其幅度响应恒为 1（或同一个常数）的系统。用公式表示为：

$\bigl|H_{ap}(e^{j\omega})\bigr| = 1, \quad \forall\, \omega$

在离散时间域中，常见的全通系统一般可以写成如下形式：

$H_{ap}(z) \;=\; z^{-N} \,\frac{A(z^{-1})}{A(z)}$

其中 $A(z)$ 是某个多项式，且其所有极点都在单位圆内（保证因果与稳定），而对应的零点都在单位圆外（是极点关于单位圆的“镜像”）。有时也会看到另一种更“直接”的形式：

$H_{ap}(z) \;=\; \frac{a_N + a_{N-1}z^{-1} + \dots + a_1 z^{-(N-1)} + z^{-N}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} + \dots + a_N z^{-N}}$

在保证稳定性的前提下，这个传递函数的幅度在单位圆上恒等于 1。

（2）一阶全通系统

2.1 纯延时系统

最简单的例子就是纯延时 $H_{ap}(z) = z^{-k}$ 。此时在单位圆上， $z = e^{j\omega}$ ，有

$H_{ap}(e^{j\omega}) = e^{-j\omega k}$

其幅度为 $|e^{-j\omega k}|=1$ ，只有相位变化，没有幅度变化。

2.2 典型一阶全通系统

更常见的非平凡一阶全通系统可以写作：

$H_{ap}(z) \;=\; \frac{1 - \lambda z^{-1}}{1 - \lambda z}, \quad \lvert \lambda \rvert < 1$

极点： $z = \lambda$ （在单位圆内，因为 $\lvert \lambda \rvert < 1$ ）。
零点： $z = \frac{1}{\lambda}$ （在单位圆外，是极点关于单位圆的镜像）。

在单位圆上，若 $z = e^{j\omega}$ ，可证明

$\bigl|H_{ap}(e^{j\omega})\bigr| = \bigl|H_{ap}(z)\bigr| = \bigl|\lambda\!-\!e^{j\omega}\bigr|\Big/\bigl|\lambda\!-\!e^{-j\omega}\bigr| = 1$

因此它确实是一个全通系统。它对信号的幅度不作改变，但会对相位产生特定的改变。

（3）二阶及高阶全通系统

3.1 二阶全通系统

可以将上面的一阶全通因子组合在一起，或者直接写出相应形式，例如

$H_{ap}(z) = \frac{(1 - \lambda_1 z^{-1})(1 - \lambda_2 z^{-1})}{(1 - \lambda_1^* z^{-1})(1 - \lambda_2^* z^{-1})}$

这里假设 $\lambda_1, \lambda_2$ 都是位于单位圆内的复数（极点），其共轭倒数 $1/\lambda_1^*, 1/\lambda_2^*$ 则是零点，位于单位圆外。

在讲义图示中，可以看到：

极-零图(pole-zero plot) 中，极点在单位圆内，零点在单位圆外，呈镜像分布。
幅度响应 恒为 1 。
相位响应 则会有一定的“弯曲”或变化。
抽样响应(时域冲激响应) 通常是无限长的 IIR，但满足全通的特性。

3.2 高阶全通系统

高阶情形则是将若干一阶或二阶全通因子相乘，或者写成更一般的形式：

$H_{ap}(z) \;=\; \prod_{k=1}^{N} \frac{1 - \lambda_k z^{-1}}{1 - \lambda_k^* z^{-1}}$

并在必要时乘上一个 $z^{-m}$ 的纯延时项。只要所有 $\lvert \lambda_k\rvert < 1$ ，极点都在单位圆内，零点都在单位圆外，就能保证全通特性。

（4）全通系统的主要特点

从讲义可以总结出全通系统的若干特点：

通常是 IIR 系统
除了最简单的纯延时 $z^{-k}$ 以外，其余全通系统在因果并稳定的前提下往往都属于 IIR。
极点数目与零点数目相同
这是因为在单位圆内外是一一镜像对称分布，每个极点都对应一个零点。
极点与零点为单位圆镜像对称
如果有极点 $p$ （ $\lvert p\rvert < 1$ ），则对应的零点必定是 $\frac{1}{p^*}$ （ $\lvert 1/p^*\rvert = 1/\lvert p\rvert > 1$ ）。
极点在单位圆内，零点在单位圆外
这是为了保证系统稳定(极点在单位圆内)的同时，实现全通(零点则在单位圆外)。
全通系统的群延迟(group delay)往往是正值并且可以调节
虽然幅度恒为 1，但相位特性可以“弯曲”，从而调节系统的群延迟。全通滤波常被用作相位均衡器。

7、最小相位系统

（1）最小相位系统的定义

1.1 稳定、因果、极点分布

对离散时间系统而言，若系统是因果(causal) 且稳定(stable)，则其极点都必须位于单位圆内( $\lvert z\rvert < 1$ )。这是系统稳定与因果性的基本要求。

1.2 零点分布与最小相位

当一个离散时间系统的零点也全部落在单位圆内( $\lvert z\rvert < 1$ )时，就称该系统为最小相位系统。简言之，对于离散时间系统：

最小相位系统 (Minimum Phase System)：
所有极点在单位圆内(稳定因果)；所有零点也在单位圆内。
最大相位系统 (Maximum Phase System)：
所有极点在单位圆内；所有零点都在单位圆外。
混合相位系统 (Mixed Phase System)：
极点在单位圆内；零点既有在单位圆内，也有在单位圆外。

从幅频响应(Amplitude Response)的角度看，只要模值 $\lvert z\rvert = 1$ 时的 $\bigl|H(e^{j\omega})|$ 相同，这些系统可以有相同的幅度响应，但相位特性却会不同。其中，最小相位系统往往被关注是因为它有一些特殊且重要的性质。

（2）最小相位系统的特点与判定

2.1 相位最小化与群延迟

“最小相位”这一术语，意味着在所有具有相同幅频响应的因果稳定系统中，最小相位系统的相位偏移或群延迟是最小的。

对同样的幅度响应来说，不同零点分布(在单位圆内还是外)并不会改变幅度，但会改变相位。
若所有零点均在单位圆内，则会得到最小的相位偏移；若有零点在单位圆外，通常会使得系统的相位偏移增大。

2.2 时域能量的早期聚集 (时域判据)

$E(M) \;=\; \sum_{n=0}^{M} h^2(n)$

即系统冲激响应 $h(n)$ 的部分能量和。对于最小相位系统，在同等幅度响应的条件下， $h(n)$ 的能量更倾向于在时域的前部分(小 n) 迅速积累。直观而言，最小相位系统的冲激响应会“更靠前”，从而使得群延迟更小。

这是最小相位系统的一个重要时域特征：

在所有幅频响应相同的稳定因果系统中，最小相位系统的冲激响应能量在时间上最前端集中。

（3）最小相位系统与因果稳定及其逆系统

3.1 因果稳定系统必然极点在单位圆内

如前所述，一个离散时间系统若要因果稳定，必须保证所有极点位于单位圆内，这一点是基本要求。

3.2 最小相位系统的可逆性

对于稳定因果系统，当且仅当它是最小相位系统时，该系统才有逆系统，且该逆系统同样是稳定、因果的。

若系统 $H(z)$ 是最小相位系统，则其零点全部在单位圆内，反之其逆系统 $H_{\text{inv}}(z) = 1/H(z)$ 的极点(即原系统的零点)也都在单位圆内；这样逆系统就可以保持稳定因果。
如果系统有零点在单位圆外，那么逆系统的极点就会落在单位圆外，导致逆系统失稳或变为非因果，因而无法得到一个稳定因果的逆系统。

因此，“可逆(且逆系统稳定因果)”与“最小相位”是对等的条件。

（4）最小相位系统与全通系统的分解

4.1 非最小相位系统的分解

对于一个一般的因果稳定系统 $H(z)$ ，如果它不是最小相位系统，则说明它有一些零点在单位圆外。根据系统因果与稳定的前提，极点仍在单位圆内，但零点可以分布在单位圆外或内，形成所谓“混合相位系统”。

在数学上，可以将这样一个系统分解为

$H(z) \;=\; H_{\min}(z)\, H_{\mathrm{ap}}(z)$

其中

$H_{\min}(z)$ 是一个最小相位系统(所有零点在单位圆内)，
$H_{\mathrm{ap}}(z)$ 是一个全通系统(All-Pass System)(幅度响应恒为 1，只改变相位)，其零点和极点一一关于单位圆镜像对称。

4.2 全通系统只改变相位

全通系统满足

$H_{\mathrm{ap}}(e^{j\omega})\bigr| = 1, \quad \forall \omega$

它不会改变幅度，但会对相位产生附加影响。之所以能将非最小相位系统分解为“最小相位 $\times$ 全通”，正是因为那部分在单位圆外的零点可以“搬”到单位圆内(形成最小相位因子)，同时在单位圆内镜像处(原零点的单位圆倒数位置)再产生对应的极点/零点对，构成一个全通因子。

4.3 意义

如果系统是最小相位系统，那么它的全通因子就只剩下一个常数(或者纯延时)，即不再有额外零点在单位圆外。
如果系统存在零点在单位圆外，则必然能拆分出一个对应的全通部分；在这个全通部分上调零点/极点位置，只会改变相位，不会改变幅度响应。

（5）最大相位、混合相位系统与最小相位系统的区别

最大相位系统
- 所有极点在单位圆内(稳定因果)，但所有零点都在单位圆外。
- 这类系统在相同幅度响应的前提下，往往具有最大的相位延迟(或者说“相位最靠后”)，冲激响应能量也最迟聚集。
混合相位系统
- 依然是稳定因果(极点在单位圆内)，但零点部分在单位圆内、部分在单位圆外。
- 这类系统的相位特性介于最小相位和最大相位之间，也可以分解为一个最小相位系统和一个全通系统相乘。
最小相位系统
- 所有极点、零点都在单位圆内，稳定因果可逆，且在同样幅度响应中相位最小、群延迟最小，冲激响应能量最早聚集。

（6）相关补充：Hilbert 变换与对数幅度-相位关系

最小相位系统在频域分析里会出现一些Hilbert 变换性质，例如

$\ln \bigl|H(e^{j\omega})\bigr| \quad\Longleftrightarrow$ 相位 $\arg\bigl(H(e^{j\omega})\bigr)$

对于最小相位系统，对数幅度和相位是一对 Hilbert 变换对。这意味着，如果已知最小相位系统的幅度频响，就可以通过一定的积分(或卷积)运算，推断出它的相位响应(忽略一个常数或 $\pi$ 的不连续项)。而如果系统中存在零点在单位圆外，这种简单的 Hilbert 变换关系会被打破，需要额外考虑全通因子的影响。

8、谱分析

（1）谱分解的基本概念

在数字信号处理（DSP）中，谱分解常被用来描述以下两种相关但不尽相同的思想：

信号的频谱分析
- 通过离散傅里叶变换（DFT/FFT）或其他谱估计方法（如Welch、Parametric等），将时域信号分解到一组频率基函数上，从而得到其频谱（幅度谱、相位谱）。
- 这种“谱分析”是对信号本身的分解，对应“这个信号在各个频率上有多少能量”的问题。
系统函数（多项式/传递函数）的谱因子分解
- 对一个离散时间系统的 Z-域或多项式表示，如 $P(z)$ ，在满足某些对称性或实系数条件时，可以将其因式分解为两个或多个子多项式的乘积，例如 $P(z) = H(z)\,H\bigl(z^{-1}\bigr)$ , 或者更常见的最小相位因子与全通因子的分解： $P(z) = H_{\min}(z)\,A(z)$ ，其中 $A(z)$ 为全通滤波器。
- 这种分解与信号的“谱”紧密关联，因为它能保证在单位圆上（即 $|z|=1$ ）满足一定的幅度特性，也可以与能量谱或功率谱相联系（如Wiener滤波理论中对功率谱的分解）。

下面的分析主要聚焦于第二种含义：对离散时间系统或多项式进行的谱因子分解。它与频谱分析密切相关，但更强调如何在极-零点层面拆分系统，从而获得所需的幅度或相位特性。

（2）线性相位与谱分解

2.1 线性相位系统概述

线性相位定义
对于一个FIR滤波器（有限长冲激响应），若其系数对称或反对称，则可得到线性相位响应：
$H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|\cdot e^{-j\alpha \omega}$
其中 $\alpha$ 为常数。这种滤波器对不同频率分量仅产生一个恒定的延时，不会造成相位畸变。
零点成对出现
线性相位FIR滤波器的零点通常以“倒数 + 共轭”形式出现。例如，若 $\alpha$ 在单位圆内是某个零点，则 $\alpha^{-1}$ 通常也在单位圆外（或反之），并且复零点还会成共轭对。

2.2 谱分解： $P(z) = H(z)\,H\bigl(z^{-1}\bigr)$

分解动机
当系统 $P(z)$ 具有实系数且呈现线性相位时，它在单位圆上的幅度响应可以被“拆分”到两个子系统中：
$|P(e^{j\omega})| = |H(e^{j\omega})|\cdot |H(e^{-j\omega})| = \bigl|H(e^{j\omega})\bigr|^2$
其中
$P(z) = H(z)\,H\bigl(z^{-1}\bigr)$
这样做的意义在于：可以将零点“重新分配”到 $|z|<1$ （最小相位）和 $|z|>1$ （最大相位或镜像）两部分，从而灵活调整系统的相位特性和实现形式。
最小相位因子
在许多应用中，往往希望把所有零点都放到单位圆内（或正好在单位圆上且可稳定实现），得到一个最小相位滤波器 $H_{\min}(z)$ 。它的一个重要特点是群延迟最小。剩余的零点（若原系统有对称分布）会被放到其镜像滤波器 $H_{\min}(z^{-1})$ 中，保证乘积仍是原系统。
全通因子
另一种常见写法是：

其中 $A(z)$ 为一个全通滤波器（allpass filter），即 $A(e^{j\omega})|=1$ 。
- 全通滤波器不会改变幅度响应，但会改变相位响应；
- 这样可以把幅度特性和相位特性“分离”控制，工程实现中非常常见。

（3）更广泛的谱分解场景

3.1 功率谱因子分解

在随机信号处理或 Wiener 滤波理论中，有时需要对功率谱密度 $S_x(z)$ 做因子分解：

$S_x(z) = W(z)\,W\bigl(z^{-1}\bigr)$

其中 $S_x(z)$ 是某随机序列的自相关函数的 Z-变换。若要求滤波器 $W(z)$ 是因果稳定的，就会选取 $|z|<1$ 范围内的零极点，得到最小相位因子。

这在自回归模型、线性预测分析（LPC）等应用中尤其常见。
通过这种谱分解，可以设计Wiener滤波器，或对信号进行预测、重构等操作。

3.2 IIR 滤波器的谱分解

对于IIR滤波器（无限长冲激响应），如果它具备某些对称性或是某种特定形式（如对称多项式、实系数等），也可以进行相似的因式分解，但往往更复杂：

需要考虑极点位置（必须在单位圆内保证稳定性），并配合零点的分布；
一些近似线性相位的IIR滤波器会将系统拆分为最小相位部分 + 全通部分，以尽量逼近线性相位。

3.3 小波分解与时频分析

从更广义的角度看，小波分解等时频分析方法也可视为将信号在一组基函数上做“谱分解”（只是这些基函数不再是简单的复指数，而是小波函数）。

这与传统的“线性相位滤波器分解”不是同一层面，但都体现了“在不同频率/尺度上分解信号或系统”的思想。
小波分解在多分辨率分析中尤其常见，用于图像处理、音频编码等。

（4）工程意义与应用要点

滤波器设计与实现
- 通过谱分解，可以先设计一个目标幅度特性，再将其拆分为最小相位与全通因子，从而在实际硬件或软件中以更低延时、更灵活的方式实现。
- 对于线性相位FIR滤波器，可将其视为最小相位滤波器与其时反序列的卷积，实现时可能节省运算量或优化存储。
相位补偿
- 在音频系统、通信系统中，若系统产生了不期望的相位失真，可以通过引入一个全通滤波器进行相位补偿。此时对幅度影响极小，但能矫正相位。
- 有些滤波器只要保证幅度满足需求，就能通过全通因子调整整体群延迟或相位响应。
随机信号处理与预测
- 对功率谱密度的因子分解是 Wiener 滤波、线性预测编码（LPC）的基础。通过分解可得到预测滤波器或激励模型，用于语音编码、故障检测、信道均衡等。
频谱估计与泄露
- 当直接使用FFT对有限长信号或冲激响应进行频谱分析时，需考虑窗函数、采样点数等因素，以避免频谱泄露和混叠。
- 在实际实验或工程中，“看”到的频谱常与理论分解有一定差异，需要合适的窗函数和采样策略。

附录

1、初值定理

（1）定理内容

对于因果离散序列 $x(n)$ （即 $x(n)=0$ 对 $n<0$ ），如果其 Z 变换 $X(z)$ 在 $z \to \infty$ 时存在极限，则有：

$x(0) = \lim_{z \to \infty} X(z)$

这意味着，直接通过将 z 趋向于无穷大，就能获得序列的第一个采样值。

（2）推导思路

Z 变换定义
Z 变换定义为：
$X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} x(n) z^{-n}$
对于因果序列，上式中的求和下限为 0。
在 $z \to \infty$ 时的分析
当 z 趋向于无穷大时，所有 $z^{-n}$ 对于 $n \geq 1$ 的项均趋向于 0，而只有 $n=0$ 的项 $z^0 = 1$ 保持不变。因此：
$\lim_{z \to \infty} X(z) = \lim_{z \to \infty} \left[ x(0) + x(1)z^{-1} + x(2)z^{-2} + \cdots \right] = x(0)$

（3）应用条件与注意事项

因果性要求
初值定理仅适用于因果序列（即 $x(n)=0$ 对 $n<0$ ）。如果序列中含有负时间项，则不能简单使用此定理。
收敛性要求
必须确保 Z 变换 $X(z)$ 在 $z \to \infty$ 时存在极限。若存在不收敛或振荡问题，则无法直接应用初值定理。
数值计算中的注意
在实际计算中，若 $X(z)$ 的表达式较复杂，可以先将其分解或化简，确保提取出当 $z \to \infty$ 时唯一不消失的项为 $x(0)$ 。

（4）总结

初值定理：
直接通过 $\lim_{z\to\infty} X(z)$ 得到 $x(0)$ 。要求序列为因果序列，并且保证其他高阶项在 $z \to \infty$ 时消失。

2、终值定理

（1）定理内容

对于因果且稳定的离散序列 $x(n)$ ，如果存在极限 $\lim_{n \to \infty} x(n)$ 且满足一定条件，则有：

$\lim_{n \to \infty} x(n) = \lim_{z \to 1} (z-1)X(z)$

终值定理给出了一种从 Z 域直接推导序列稳态值的方法。

（2）推导思路

收敛条件
要求序列 $x(n)$ 收敛于一个常数（即存在稳态值），同时 $X(z)$ 的唯一极点在 $z=1$ （不含其他位于单位圆上或外部的极点）。
数学推导
对于稳定因果系统，设系统的响应 $x(n)$ 随 $n$ 增大逐渐趋于 $x(\infty)$ 。考虑 Z 变换表达式：
$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x(n) z^{-n}$
若 $x(n)$ 收敛，则当 $n \to \infty$ 的部分可近似视为 $x(\infty)$ 的重复累加，此时利用级数求和公式可以证明：
$\lim_{z \to 1} (z-1)X(z) = x(\infty)$
直观上可以理解为： $(z-1)$ 在 $z\to1$ 时起到“滤除”前面 transient 部分，仅留下长期稳态的贡献。

（3）应用条件与注意事项

稳定性要求
终值定理只对稳定系统（所有极点都位于单位圆内，且 $z=1$ 为唯一的单位圆边界极点）成立。如果系统不稳定或存在多个位于或超过单位圆边界的极点，使用终值定理将导致错误的结果。
极点配置要求
计算时需要确保 $X(z)$ 在 $z=1$ 附近的行为满足极限存在。若 $X(z)$ 在 $z=1$ 处具有极点（且仅该极点满足条件），才能应用终值定理。
实际计算中的技巧
通常对 $X(z)$ 进行部分分式展开，找到 $z=1$ 附近的项，再乘以 $(z-1)$ 求极限，以获得稳态值。在计算过程中，应特别注意极点的阶数以及是否存在共振情况。