4、并行 hp 自适应有限元方法与后验误差估计的研究与实践

并行 hp 自适应有限元方法与后验误差估计的研究与实践

在科学计算领域，对于偏微分方程的数值求解和误差估计一直是重要的研究方向。并行 hp 自适应有限元方法以及后验误差估计在解决复杂问题时发挥着关键作用。下面将详细介绍相关的方法、算法以及实验结果。

并行 hp 自适应有限元方法

网格细化步骤

• 步骤 1 ：仅使用 h - 细化。此步骤的重点并非获取良好的近似解和精确的后验误差估计，而是创建具有足够元素数量的网格，以实现对区域的良好划分。避免在该步骤使用 p - 细化和 hp - 细化是合理的，因为这些策略在极粗的网格上效果不佳。
• 步骤 2 ：在每个处理器上，若局部子域的元素数量较少，应首先使用自适应 h - 细化或局部均匀 h - 细化，之后再使用自动 hp - 细化。由于每个处理器上的自适应细化（步骤 2）与其他处理器上的操作完全独立，因此由每个处理器上细化区域的网格构建的全局细化网格在界面系统上最初是不匹配的。使用 hp - 细化时，协调局部网格的任务具有挑战性，因为网格在几何上是无结构的（h 方面）且具有可变的阶数（p 方面），同时没有细化树，并且在 h 和 p 方面都存在不匹配性。所以，需要有效地识别和解决这些不匹配问题，并最终在给定处理器的精细网格界面系统上的自由度与共享其界面的其他处理器上的相应自由度之间建立联系。

区域分解求解器

为了简化讨论，我们将注意力集中在两个子域的情况。在该方案中，每个子区域贡献对应于所有精细自由度（包括其界面）的方程。因此，在全局系统中，对应于界面自由度通常会有多个未知