73、量子霍尔效应与拓扑绝缘体：原理、悖论及应用

量子霍尔效应与拓扑绝缘体：原理、悖论及应用

1. 量子输运与磁通子捕获

在量子输运的研究中，当不考虑 $E_0$ 中的第二项（即与电流成正比的霍尔贡献项）时，会得到与量子基本性质相关的结果。此时，$y_0$ 的表达式为：
[y_0 = \frac{hc}{e} \frac{k_x}{2\pi B} = \phi_0 \frac{k_x}{2\pi B}]
其中，$\phi_0 = \frac{hc}{e} = 4.136 \times 10^{-7} \text{Gauss} \cdot \text{cm}^2$ 是磁通量量子。解的形式为沿 $x$ 轴的平面波和沿 $y$ 轴的振荡波，且 $y$ 方向的最小值 $y_0 = \frac{c\hbar k_x}{eB}$ 与 $k_x$ 成正比。

对于第 $s$ 个朗道能级（LL）的第 $n$ 个状态，$k_x = \frac{2\pi n}{L_x}$，且 $y_0 = \frac{c\hbar k_x}{eB} = \frac{c\hbar \frac{2\pi n}{L_x}}{eB} \leq L_y$，由此可得：
[n \leq \frac{eB}{chL_x L_y}]
设定样品面积 $S = L_x L_y$，并结合磁通量量子 $\phi_0$，可得出简并度为：
[D_L = \frac{eBS}{hc} = \frac{\phi}{\phi_0}]
这意味着当电子数等于简并度 $D_L$ 时，即所有粒子处于基态，每个粒子会捕获一个磁通子，条件为 $H_t S = N_{el} \phi_0$。通常，对于每平方厘米 $10^{11}$ 个电子，在阈值场 $H = H_t = 10