43、动态经济模型数值方法的优化与应用

动态经济模型数值方法的优化与应用

1. 降低动态规划方法的成本

在求解动态经济模型时，传统的价值函数迭代（VFI）方法成本较高。为了降低成本，介绍两种有效的方法：内生网格法（EGM）和包络条件法（ECM）。

1.1 内生网格法（EGM）

Carroll（2005）提出的内生网格法（EGM）简化了VFI下的根求解过程。其核心思想是在未来内生状态变量上构建网格，而非当前内生状态变量。在典型经济模型中，给定 $k’$ 求解 $k$ 比给定 $k$ 求解 $k’$ 更容易，因此EGM优于传统VFI。

EGM的步骤如下：
1. 选择一个网格 ${k’ m, \theta_m} {m = 1, \cdots, M}$ 来近似价值函数。
2. 内循环中，给定 $V(k_m, \theta_m)$，求解 ${c_m, k_m}$ 使得：
- $u’(c_m) = \beta E[V_1(k’ m, \theta’ {m, j})]$
- $c_m + k’_m = \theta_m f(k_m) + (1 - \delta) k_m$

由于 $k’$ 的值是固定的（它们是网格点），可以预先计算 $E[V(k’, \theta’)] \equiv W(k’, \theta)$ 和 $E[V_1(k’, \theta’)] \equiv W_1(k’, \theta)$。方程 $(1 - \delta) k + \theta k^{\alpha} = [\beta W_1(k’, \theta)]^{-1/\gamma} + k’$ 比传统方程更容易数值求解，因为它不涉及插值或条件期望