72、超导、量子霍尔效应与拓扑绝缘体的深入探究

超导、量子霍尔效应与拓扑绝缘体的深入探究

1. 超导相关理论

1.1 玻戈留波夫 - 瓦拉廷变换

在超导理论中，有如下重要等式：
((u_kc_{k↑} - v_kc_{-k↓})(u_k + v_kc_{k↑}^†c_{-k↓}^†)|0\rangle = 0)
由此我们定义费米子算符 (\alpha_k = u_kc_{k↑} - v_kc_{-k↓}^†)，它以基态 (\Psi_0) 作为真空态，能够破坏激发并改变电子数量。同时，还有正交组合 (\beta_k = u_kc_{-k↓} + v_kc_{k↑}^†)。
激发态被称为玻戈子（Bogolons），由以下算符产生：
(\alpha_k^† = u_kc_{k↑}^† - v_kc_{-k↓})
(\beta_k^† = u_kc_{-k↓}^† + v_kc_{k↑})
这就是玻戈留波夫 - 瓦拉廷变换，并且可以验证它是正则变换，即 ([\alpha_k, \alpha_{k’}^†] - = \delta(k, k’) = [\beta_k, \beta {k’}^†] -)。其逆变换为：
(c {k↑} = u_k\alpha_k + v_k\beta_k^†)
(c_{-k,↓} = u_k\beta_k - v_k\alpha_k^†)
(c_{k↑}^† = u_k\alpha_k^† + v_k\beta_k)
(c_{-k↓}^† = u_k\beta_k^† - v_k\alpha_k)
任何激发的湮灭算符作用于基态 (\Psi_0) 都得到 0。

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