66、理想费米气体、理想玻色气体及相关量子现象

理想费米气体、理想玻色气体及相关量子现象

1. 理想费米气体与理想玻色气体基础

在量子统计力学中，对于不可区分粒子组成的系统，交换不同状态的粒子没有实际意义。我们需要先确定实现给定分布 (n_1, n_2, n_3 \cdots) 的微观状态数，进而得到最概然分布。对于经典玻尔兹曼粒子，有 (\bar{n}_r = g_r e^{-\beta(\epsilon_r - \mu)})，其中 (\mu) 为化学势。而玻色子和费米子的情况则有不同的解。

2. 玻色 - 爱因斯坦统计

玻尔兹曼分布是通过寻找相空间中可区分粒子的最概然分布得到的。但量子粒子原则上不可标记，这在高能情况之外会产生很大差异。

玻色 - 爱因斯坦统计用于确定第 (i) 个格子中玻色子数的平衡值 (\bar{n}_i)。当指定每个量子态中玻色子的平均数量时，就确定了一个微观状态。平衡条件对应于在满足约束条件下，通过改变第 (r) 个格子的粒子数 (n_r) 所能达到的最大微观状态数 (W)。除了总能量 (E)，对于原子或分子，玻色子的数量 (N) 是固定的，但对于光子，其数量是可变的。因此有：
(\frac{\partial}{\partial n_r}[\ln W - \alpha N - \beta E] = 0)
其中 (\alpha) 和 (\beta) 是拉格朗日乘子，对于光子，(\alpha = 0)。

以原子为例，能量分布使得 (n_r) 个原子处于第 (r) 个格子的概率取决于该格子中简并态的数量 (g_r)。设 (W = \prod_r W_r)，其中 (W_r) 是将 (n_r) 个粒子分配到第 (r) 个格子的 (g_r) 个简并