44、量子力学的路径积分表述与相关解释

量子力学的路径积分表述与相关解释

1. 量子力学的路径积分表述

1.1 基本定义

在量子力学中，对于无自旋粒子，有如下重要定义：
- 概率幅 $P(x’, t’, x, t)$ 定义为：$P(x’, t’, x, t) = \langle x’|e^{-i H(t - t’)}|x\rangle$。
- 对应的格林函数 $G(x’, t’, x, t)$ 定义为：$G(x’, t’, x, t) = i P(x’, t’, x, t)\theta(t - t’)$，且满足方程 $(H - i\frac{\partial}{\partial t})G = \delta(x - x’)\delta(t - t’)$。

1.2 自由粒子情况

对于自由粒子，考虑 $\hbar$ 后，概率幅 $P(x’, t’, x, t)$ 为：
$P(x’, t’, x, t) = \left(\frac{m}{2\pi i\hbar(t - t’)}\right)^{\frac{1}{2}}\exp\left(\frac{im(x - x’)^2}{2\hbar(t’ - t)}\right)$。
将其扩展到三维情况，有：
$P(\vec{x}’, t’, \vec{x}, t) = \left(\frac{m}{2\pi i\hbar(t - t’)}\right)^{\frac{3}{2}}\exp\left(\frac{im(\vec{x} - \vec{x}’)^2}{2\hbar(t’ - t)}\right)$。

1.3 路径积分在玻姆 - 阿哈罗诺夫效应理论中的应用