36、一维粒子的量子行为与隧道效应

一维粒子的量子行为与隧道效应

1. 一维粒子的基础概念

在量子力学中，一维粒子的行为展现出许多与经典力学不同的特性。对于动能矩阵，若在完备集上取值，其特征值为正。然而，势垒中的 $x$ 值并不构成完备集，所以认为势垒下动能为负的观点并不合理。

粒子以波 $\psi$ 的形式传播，具有一定能量 $E$，而粒子实体仅在被探测到之后才存在。就像在双缝实验中，波会同时通过两条狭缝，而粒子实体仅在干涉图样被记录的位置出现。这些现象虽消除了一些悖论，但量子行为与经典行为在本质上仍存在显著差异。

2. 能量高于阈值的情况

当能量 $E > V$ 时，波函数 $\psi(x)$ 可表示为：
[
\psi(x) =
\begin{cases}
e^{ikx} + Be^{-ikx}, & x < 0 \
Ce^{i\chi x}, & x > 0
\end{cases}
]
其中，$\hbar^2k^2 = 2mE$，$\hbar^2\chi^2 = 2m(E - V)$。
根据 $\psi$ 和 $\frac{d\psi}{dx}$ 在 $x = 0$ 处的连续性条件：
[
\begin{cases}
1 + B = C \
ik(1 - B) = i\chi C \Rightarrow 1 - B = \frac{\chi}{k}C
\end{cases}
]
可解得：
[
\begin{cases}
C = \frac{2k}{k + \chi}