23、曲线坐标与弯曲空间：从微积分到测地线的探索

曲线坐标与弯曲空间：从微积分到测地线的探索

在数学和物理学的研究中，曲线坐标和弯曲空间的概念至关重要。它们帮助我们理解和描述那些不能简单用直线和平面来表示的复杂空间。本文将深入探讨曲线空间中的微积分、曲率、克里斯托费尔符号以及测地线等重要概念。

1. 曲线空间中的微积分

在曲线空间中，坐标线通常不是直线，这使得向量的分量和基向量在不同点会发生变化。

1.1 基向量的变化

考虑坐标线 $x^1 = x^1(s)$ 上的点 $A$，它对应坐标值 $x^1$，并且是局部基向量 $\vec{e}_1 = \frac{dx^1}{ds}$ 和 $\vec{e}_2 = \frac{dx^2}{ds}$ 的原点。在坐标线上的另一点 $B$，对应坐标 $x^i + dx^i$，会有一个新的局部基。由于坐标线不是直线，这个新基与将点 $A$ 处的基简单平移得到的基不同。

基向量 $\vec{e} 1$ 的变化量是 $dx$ 量级的。对于一个常向量 $\vec{W}$，其逆变分量的变化为：
$\delta W^i = -\Gamma {kl}^i W^k dx^l$ (7.17)

这里，$\Gamma_{ij}^k = \Gamma_{ji}^k$，因为 $\frac{\partial \vec{e}_i}{\partial x^k} = \frac{\partial \vec{e}_k}{\partial x^i}$。

同样，不同点处的逆变基向量不平行。当点移动 $dx^j$ 时，基向量 $\vec{e}^i$ 的变化是线性的，其形式为：
$d\vec{e}^i = -\