21、狭义相对论的几何与力学：多普勒效应、光行差及相对论力学

狭义相对论的几何与力学：多普勒效应、光行差及相对论力学

1. 狭义相对论中的电磁关系

在狭义相对论的研究中，存在这样的关系：
[
\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\left(\frac{\partial A^{\nu}}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial A^{\mu}}{\partial x^{\nu}}\right) = \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}F_{\mu\nu} = 0 \Leftrightarrow \text{div} \mathbf{B} = 0, \text{rot} \mathbf{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0
]
这个等式揭示了电磁场中一些基本物理量之间的联系，是后续研究的基础。

2. 多普勒效应与光行差

2.1 多普勒效应概述

多普勒效应是指当波源和观察者之间存在相对运动时，波的频率和波长会发生变化的现象。奥地利物理学家克里斯蒂安·多普勒在1842年首次描述了这一现象，他注意到火车经过时，火车汽笛发出声音的音调会发生变化，靠近时频率变高，远离时频率变低。这里我们关注的是光学多普勒效应的相对论理论，它对之前的解释在重要细节上进行了修正。

2.2 思想实验设定

我们进行一个思想实验，假设有一列火车沿(x)轴以速度(u)行驶，车站被一个单色光源取代，该光源发射平面电磁波，其脉动为(\omega_S = 2\pi\nu_S)，波矢为(\vec{k}