20、狭义相对论的几何：闵可夫斯基时空

狭义相对论的几何：闵可夫斯基时空

1. 特殊洛伦兹变换

特殊洛伦兹变换可以看作是在 (x_1 - x_4) 平面上以虚角度 (i\xi) 进行的旋转，其中 (\tanh(\xi) = \beta)。旋转的表达式如下：
(x_1’ = x_1 \cosh(\xi) + ix_4 \sinh(\xi))
(x_4’ = x_4 \cosh(\xi) - ix_1 \sinh(\xi))

与在四维空间 (\mathbb{R}^4) 中虚角度旋转的类比，虽然对物理意义的阐释作用有限，但它能让我们将实旋转（同样用 (4×4) 矩阵表示）与特殊洛伦兹变换相结合，从而得到任意方向的一般洛伦兹变换。此外，这种类比有助于我们寻找和分类各种不变量，这些不变量就是张量。

2. 向量与张量

在三维空间 (\mathbb{R}^3) 中工作时，我们要确保物理方程在笛卡尔参考系旋转或反射时仍然有效。对于标量来说，这很容易实现，因为它们只有一个分量且不会改变；而赝标量在反射时会改变符号。

除了标量，还有向量（如电场 (\vec{E})）和赝向量（如磁场 (\vec{B})，因为它在宇称变换下不变，所以是赝向量）。当旋转参考系时，向量的分量会发生变化，但向量本身保持不变。

二阶张量是具有 (2×3) 个分量的数组，它们按照特定规则进行变换。一般来说，任何可测量的物理对象都必须用具有一定数量指标的张量来表示。

时空中的张量与三维空间中的张量类似，但在相对论中，我们需要在四维空间 (\mathbb{R}^4) 中工作。这些张量代表的物理量对于所有观察者都是相同的，因此我们的方程必须独立于旋转和推进（即洛伦兹变换）