[学习] 深入解析Z变换：从数学基础到工程应用

原创于 2025-06-17 22:57:18 发布 · 962 阅读

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深入解析Z变换：从数学基础到工程应用

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- 深入解析Z变换：从数学基础到工程应用

摘要

Z变换是离散时间信号系统分析的核心数学工具，通过将时域序列映射到复平面（Z域），为数字滤波器设计、系统稳定性分析和频谱计算提供了理论基础。本文从数学定义出发，结合物理意义与工程案例，系统剖析Z变换在数字信号处理中的核心作用，并提供完整的Python可视化实现。

一、Z变换的数学定义

1. 基本表达式

离散时间信号 $x [n]$ 的双边Z变换定义为：
$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot z^{-n}$
其中：

$z$ 为复变量： $z = re^{jω}$ ， $r$ 表示幅度衰减/增长因子， $ω$ 为数字角频率
$n$ 为离散时间索引：序列在时间轴上的位置

单边Z变换（适用于因果系统）定义为：
$\sum_{n=0}^{\infty} x[n] \cdot z^{-n}$

2. 收敛域（Region of Convergence, ROC）

Z变换的收敛性由收敛域决定。ROC是复平面上使级数绝对可和的 $z$ 值集合：
$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n] \cdot r^{-n}| < \infty$

在这里插入图片描述

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Circle, Wedge

def plot_roc():
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
    
    # 单位圆
    unit_circle = Circle((0, 0), 1, fill=False, color='blue', linestyle='--', alpha=0.7)
    ax.add_patch(unit_circle)
    
    # 右边序列ROC (|z| > 0.5)
    wedge_out = Wedge((0,0), 1.5, 0, 360, width=0.5, color='red', alpha=0.3)
    ax.add_patch(wedge_out)
    ax.text(1.2, 0.1, '|z|>0.5\n(右边序列)', fontsize=10)
    
    # 左边序列ROC (|z| < 0.8)
    wedge_in = Wedge((0,0), 0.8, 0, 360, width=0.8, color='green', alpha=0.3)
    ax.add_patch(wedge_in)
    ax.text(0.1, 0.6, '|z|<0.8\n(左边序列)', fontsize=10)
    
    # 双边序列ROC (0.4 < |z| < 0.9)
    ring = Wedge((0,0), 0.9, 0, 360, width=0.5, color='purple', alpha=0.3)
    ax.add_patch(ring)
    ax.text(0.3, 0.1, '0.4<|z|<0.9\n(双边序列)', fontsize=10)
    
    # 设置坐标轴
    ax.axhline(0, color='black', alpha=0.3)
    ax.axvline(0, color='black', alpha=0.3)
    ax.set_xlim(-1.6, 1.6)
    ax.set_ylim(-1.6, 1.6)
    ax.set_aspect('equal')
    ax.set_title('Z变换收敛域(ROC)类型', fontsize=14)
    ax.set_xlabel('实部(Re)', fontsize=12)
    ax.set_ylabel('虚部(Im)', fontsize=12)
    ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
    
    plt.tight_layout()
    plt.show()

# 执行绘图
plot_roc()

二、数学意义：为什么需要Z变换？

1. 对DTFT的推广

离散时间傅里叶变换（DTFT）可视为Z变换在单位圆上的特例：
$X(e^{jω}) = X(z) \big|_{z=e^{jω}}$
DTFT要求信号绝对可和，而Z变换通过引入衰减因子 $r^{-n}$ 放宽了收敛条件。

2. 与拉普拉斯变换的关系

对连续信号采样后（采样周 $T$ ），其拉普拉斯变换为超越函数：
$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) e^{-snT}$
通过变量代换 $z = e^{sT}$ ，得到Z变换：
$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$
这一变换将超越函数转化为有理分式，极大简化了计算。

3. 微分方程的代数化

Z变换将差分方程（离散系统的描述工具）转化为代数方程：
$\begin{aligned} \text{时域差分方程：} & \quad a₀y[n] + a₁y[n-1] = b₀x[n] \\ \rightarrow \text{Z域代数方程：} & \quad (a₀ + a₁z⁻¹)Y(z) = b₀X(z) \end{aligned}$
这一特性类比于拉普拉斯变换对微分方程的简化作用。

三、物理意义：复平面中的信号与系统

1. 复平面（Z平面）的几何解释

单位圆（ $∣ z ∣ = 1$ ）：对应稳态频率响应
圆内区域（ $∣ z ∣ < 1$ ）：信号分量衰减
圆外区域（ $∣ z ∣ > 1$ ）：信号分量增长

2. 零极点分析

Z变换常表示为有理：
$\frac{\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N} a_k z^{-k}} = K \frac{\prod_{i=1}^{M} (1 - c_i z^{-1})}{\prod_{j=1}^{N} (1 - d_j z^{-1})}$

零点 $z=c_i$ ：使分子为零的点，抑制对应频率
极点 $z=d_j$ ：使分母为零的点，放大对应频率

def plot_pole_zero():
    # 系统函数: H(z) = (z-0.8)(z+0.5)/[(z-0.6+0.4j)(z-0.6-0.4j)(z+0.7)]
    zeros = [0.8, -0.5]
    poles = [complex(0.6, 0.4), complex(0.6, -0.4), -0.7]
    
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
    
    # 单位圆
    unit_circle = Circle((0, 0), 1, fill=False, color='blue', linestyle='--', alpha=0.5)
    ax.add_patch(unit_circle)
    
    # 绘制零点
    ax.scatter(np.real(zeros), np.imag(zeros), s=100, marker='o', 
               facecolors='none', edgecolors='r', label='零点')
    
    # 绘制极点
    ax.scatter(np.real(poles), np.imag(poles), s=100, marker='x', 
               color='b', label='极点')
    
    # 设置坐标轴
    ax.axhline(0, color='black', alpha=0.3)
    ax.axvline(0, color='black', alpha=0.3)
    ax.set_xlim(-1.2, 1.2)
    ax.set_ylim(-1.2, 1.2)
    ax.set_aspect('equal')
    ax.set_title('系统零极点分布图', fontsize=14)
    ax.set_xlabel('实部(Re)', fontsize=12)
    ax.set_ylabel('虚部(Im)', fontsize=12)
    ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
    ax.legend(loc='best')
    
    # 添加稳定性分析
    for pole in poles:
        mag = np.abs(pole)
        color = 'green' if mag < 1 else 'red'
        ax.text(np.real(pole)+0.05, np.imag(pole), f'|p|={mag:.2f}', 
                color=color, fontsize=10)
    
    plt.tight_layout()
    plt.show()

# 执行绘图
plot_pole_zero()

3. 系统稳定性判据

系统稳定的充要条件：所有极点位于单位圆内（ $d_j| < 1$ ）

四、工程应用：数字信号处理案例

案例1：数字滤波器设计

设计一Butterworth低通滤波器：

确定指标：通带截止频率 $\omega_p=0.2\pi$ ，阻带截止 $\omega_s=0.4\pi$
通过双线性变换将模拟滤波器转为数字：
$\frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}$
得到Z域传递函数：
$\frac{0.067 + 0.134z^{-1} + 0.067z^{-2}}{1 - 1.142z^{-1} + 0.412z^{-2}}$

在这里插入图片描述

from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

def plot_filter_response():
    # 定义滤波器系数
    b = [0.067, 0.134, 0.067]  # 分子系数
    a = [1, -1.142, 0.412]     # 分母系数
    
    # 创建频率响应图
    plt.figure(figsize=(12, 8))
    
    # 幅频响应
    plt.subplot(2, 1, 1)
    w, h = signal.freqz(b, a)
    plt.plot(w/np.pi, 20 * np.log10(np.abs(h)), 'b')
    plt.axvline(0.2, color='r', linestyle='--')  # 通带截止
    plt.axvline(0.4, color='g', linestyle='--')  # 阻带截止
    plt.title('Butterworth低通滤波器幅频响应')
    plt.ylabel('幅度 (dB)')
    plt.xlabel('归一化频率 (×π rad/sample)')
    plt.grid(True)
    plt.ylim([-50, 5])
    
    # 相频响应
    plt.subplot(2, 1, 2)
    angles = np.unwrap(np.angle(h))
    plt.plot(w/np.pi, angles, 'g')
    plt.title('相频响应')
    plt.ylabel('角度 (弧度)')
    plt.xlabel('归一化频率 (×π rad/sample)')
    plt.grid(True)
    
    plt.tight_layout()
    plt.show()

# 执行绘图
plot_filter_response()

案例2：系统稳定性分析

已知系统函数：
$\frac{1}{1 - 1.2z^{-1} + 0.35z^{-2}}$

求极点：解方程 $z^2 - 1.2z + 0.35 = 0$ → 极点 $\pm j0.2$
计算模： $\sqrt{0.6^2 + 0.2^2} \approx 0.632 < 1$
结论：所有极点在单位圆内 → 系统稳定

案例3：卷积计算的简化

时域卷积 $y [n] = x [n] * h [n]$ 在Z域变为乘积：
$\mathcal{Z}\{x[n] * h[n]\} = X(z) \cdot H(z)$
工程价值：

复杂度从 $O(N^2)$ 降至 $\log N)$ （结合FFT实现）
硬件实现时减少乘法器数量

五、Z变换的核心性质

性质	时域	Z域	条件
线性	$a x_{1} [n] + b x_{2} [n]$	$a X_{1} (z) + b X_{2} (z)$	ROC取交集
时移	$x [n - k]$	$z^{-k}X(z)$	ROC可能增删 $0/\infty$
卷积	$x [n] * h [n]$	$X (z) H (z)$	ROC至少重叠
频移	$e^{jω₀n}x[n]$	$X(e^{-jω₀}z)$	ROC不变
初值定理	$x$	$\lim_{z\to\infty} X(z)$	仅因果序列