18、矩阵理论与几何变换：从基础概念到实际应用

矩阵理论与几何变换：从基础概念到实际应用

1. 特殊矩阵类

1.1 埃尔米特矩阵

埃尔米特矩阵在量子力学中起着关键作用，是理解和解决原子及亚原子尺度物理问题的主要工具。

定义

矩阵 (M) 的埃尔米特伴随 (M^{\dagger}) 等于其转置的复共轭，即 (M^{\dagger} = \overline{M^T})。例如，在复向量空间中，左矢向量是相应右矢向量的埃尔米特伴随。

若矩阵 (H) 满足 (H^{\dagger} = H)，则称 (H) 为埃尔米特矩阵。

定理

• 定理 1 ：埃尔米特矩阵的特征值是实数。
  设 (\lambda_m) 是 (H) 的特征值，(v_m) 是对应的特征向量，则 (H v_m = \lambda_m v_m)。对等式两边取埃尔米特伴随，利用相关引理并结合 (H) 是埃尔米特矩阵的性质，可逐步推导得出特征值为实数。
• 定理 2 ：埃尔米特矩阵对应不同特征值的特征向量是正交的。
  已知 (H v_m = \lambda_m v_m)，(H v_n = \lambda_n v_n) 且 (\lambda_m \neq \lambda_n)，通过一系列运算可证明 (v_n^{\dagger} v_m = 0)。

练习与问题

• 证明任何 (2 \otimes 2) 埃尔米特矩阵都可以唯一分解为泡利自旋矩阵和单位矩阵。
• 找出两个已分解为泡利自旋矩阵