数论作业 —— 公约数公倍数问题

文章介绍了如何利用数位原理和数学方法解决两个四位数的最大公约数问题,通过建立方程并进行消元,最后通过分类讨论找到可能的数字组合。

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题目 111:四位数 abcd‾\overline{abcd}abcddbca‾\overline{dbca}dbca 的最大公约数为 636363(相同字母代表相同数字),求所有 abcd‾\overline{abcd}abcddbca‾\overline{dbca}dbca

思路

题目就给出了 222 个四位数字,我们需要将对应的数字转换为数学公式,这样我们才能进行求解。
自然我们想到了数位原理。

根据数位原理
abcd‾=1000∗a+100∗b+10∗c+d\overline{abcd}=1000*a+100*b+10*c+dabcd=1000a+100b+10c+d
dbca‾=1000∗d+100∗b+10∗c+a\overline{dbca}=1000*d+100*b+10*c+adbca=1000d+100b+10c+a
这样,我们得到了只有 222 个方程的 444111 次方程组。
消元是很自然的选择。
(1000∗a+100∗b+10∗c+d)−(1000∗d+100∗b+10∗c+a)=1000∗a−1000∗d+d−a=1000∗(a−d)+(d−a)=999∗(a−d)(1000*a+100*b+10*c+d)-(1000*d+100*b+10*c+a)\\ =1000*a-1000*d+d-a\\ =1000*(a-d)+(d-a)\\ =999*(a-d)(1000a+100b+10c+d)(1000d+100b+10c+a)=1000a1000d+da=1000(ad)+(da)=999(ad)
这样,我们将方程花间为一个 222111 次不定方程。下面我们进行分类讨论既可以。
不失通用性,我们可以假设 abcd‾>dbca‾\overline{abcd}>\overline{dbca}abcd>dbca
根据题目条件,可得 63∣(abcd‾−dbca‾)63|(\overline{abcd}-\overline{dbca})63∣(abcddbca)
所以 63∣(999∗(a−d))63|(999*(a-d))63∣(999(ad))
所以 7∣(111∗(a−d))7|(111*(a-d))7∣(111(ad))
因为 (7,111)=1(7,111)=1(7,111)=1,所以 7∣(a−d)7|(a-d)7∣(ad)
也就是说 (a−d)(a-d)(ad)777 的倍数。
由于 aaa 是最高位,因此 1<a≤91<a \leq 91<a9
所以可得 a=8,d=1a=8, d=1a=8,d=1 或者 a=9,d=2a=9, d=2a=9,d=2
下面,我们进行分类讨论即可。

  1. a=8,d=1a=8, d=1a=8,d=1 时。
    abcd‾=8bc1‾=8001+bc0‾\overline{abcd}=\overline{8bc1}=8001+\overline{bc0}abcd=8bc1=8001+bc0
    因为 8001=63×1278001=63 \times 1278001=63×127,即 800180018001636363 的倍数。
    所以 bc0‾\overline{bc0}bc0 也是 636363 的倍数。
    可以得出 bc0‾=000\overline{bc0}=000bc0=000 或者 bc0‾=630\overline{bc0}=630bc0=630
    1.1 当 abcd‾=8001=63×127, dbca‾=1008=63×16\overline{abcd}=8001=63 \times 127,\ \overline{dbca}=1008=63 \times 16abcd=8001=63×127, dbca=1008=63×16,满足 (127,16)=1(127,16)=1(127,16)=1
    abcd‾=8001, dbca‾=1008\overline{abcd}=8001,\ \overline{dbca}=1008abcd=8001, dbca=1008 是一组解。
    1.2 当 abcd‾=8631=63×137, dbca‾=1638=63×26\overline{abcd}=8631=63 \times 137,\ \overline{dbca}=1638=63 \times 26abcd=8631=63×137, dbca=1638=63×26,满足 (137,26)=1(137,26)=1(137,26)=1
    abcd‾=8631, dbca‾=1638\overline{abcd}=8631,\ \overline{dbca}=1638abcd=8631, dbca=1638 是一组解。
  2. a=9,d=2a=9, d=2a=9,d=2 时。
    abcd‾=9bc2‾=9002+bc0‾\overline{abcd}=\overline{9bc2}=9002+\overline{bc0}abcd=9bc2=9002+bc0
    因为 9002 mod 63=569002 \bmod 63 = 569002mod63=56。所以 bc0‾ mod 63=7\overline{bc0} \bmod 63 = 7bc0mod63=7
    可以得出 bc0‾=070\overline{bc0}=070bc0=070 或者 bc0‾=700\overline{bc0}=700bc0=700
    1.1 当 abcd‾=9072=63×144, dbca‾=2079=63×33\overline{abcd}=9072=63 \times 144,\ \overline{dbca}=2079=63 \times 33abcd=9072=63×144, dbca=2079=63×33,而 (144,33)=3(144,33)=3(144,33)=3
    该组答案舍去。
    abcd‾=9072, dbca‾=2079\overline{abcd}=9072,\ \overline{dbca}=2079abcd=9072, dbca=2079 不是一组解。
    1.2 当 abcd‾=9702=63×154, dbca‾=2709=63×43\overline{abcd}=9702=63 \times 154,\ \overline{dbca}=2709=63 \times 43abcd=9702=63×154, dbca=2709=63×43,满足 (154,43)=1(154,43)=1(154,43)=1
    abcd‾=9072, dbca‾=2709\overline{abcd}=9072,\ \overline{dbca}=2709abcd=9072, dbca=2709 是一组解。
    综上所述,答案有 333 组。

问题 222:若 a+b=60, (a,b)+[a,b]=84, a,b∈N+a+b=60,\ (a,b)+[a,b]=84,\ a,b \in N+a+b=60, (a,b)+[a,b]=84, a,bN+,求 a,ba,ba,b

思路

题目给出了 222 个方程,但是 (a,b)+[a,b]=84(a,b)+[a,b]=84(a,b)+[a,b]=84 这个方程我们无法立即求解,需要进行响应转化。
我们可以利用短除模型。即 a,ba,ba,b 的公约数为 mmm,可得 a=mA,b=mB,(A,B)=1a=mA, b=mB, (A,B)=1a=mA,b=mB,(A,B)=1

不失通用性,假设 a>ba>ba>b
利用短除模型。记 m=(a,b)m=(a,b)m=(a,b)
(a,b)=m, [a,b]=mAB(a,b)=m,\ [a,b]=mAB(a,b)=m, [a,b]=mAB
这样方程变为
mA+mB=60→m(A+B)=60→A+B=60mmA+mB=60 \rightarrow m(A+B)=60 \rightarrow A+B=\frac{60}{m}mA+mB=60m(A+B)=60A+B=m60
m+mAB=84→m(1+AB)=84→1+AB=84mm+mAB=84 \rightarrow m(1+AB)=84 \rightarrow 1+AB=\frac{84}{m}m+mAB=84m(1+AB)=841+AB=m84
因为 A,B∈N+A,B \in N+A,BN+
所以 (A+B),(1+AB)∈N+(A+B),(1+AB) \in N+(A+B),(1+AB)N+,即 m∣60,m∣84m|60, m|84m∣60,m∣84
60=1∗2∗2∗3∗5, 84=1∗2∗2∗3∗760=1*2*2*3*5,\ 84=1*2*2*3*760=12235, 84=12237
因此 m=1,2,3,4,6,12m=1,2,3,4,6,12m=1,2,3,4,6,12
经验证 m=1,2,3,4,6m=1,2,3,4,6m=1,2,3,4,6 方程无解。
m=12m=12m=12
A+B=5, 1+AB=7A+B=5,\ 1+AB=7A+B=5, 1+AB=7,即 A=3,2, B=2,3A=3,2,\ B=2,3A=3,2, B=2,3
a=36, b=24a=36,\ b=24a=36, b=24

问题 333:若 a+b=667, [a,b](a,b)=120, a,b∈N+a+b=667,\ \frac{[a,b]}{(a,b)}=120,\ a,b \in N+a+b=667, (a,b)[a,b]=120, a,bN+,求 a,ba,ba,b

思路

类似于问题 222,使用短除模型即可解决。

其实就是问题 222 的变化。
大家可以自己求解。

问题 444:求 a,b∈N+a,b\in N+a,bN+,使得 (a,b)+9[a,b]+9(a+b)=7ab(a,b)+9[a,b]+9(a+b)=7ab(a,b)+9[a,b]+9(a+b)=7ab

思路

类似问题 222,使用短除模型。
由于本题将转化为一个 444444 次方程,这样的方程是没有办法进行分类讨论的,工作量太大了。
所以我们需要进行缩放。

不失通用性,假设 a>ba>ba>b
利用短除模型。记 m=(a,b)m=(a,b)m=(a,b)
a=mA, b=mB,(A,B)=1a=mA,\ b=mB, (A,B)=1a=mA, b=mB,(A,B)=1。代回原方程。
m+9mAB+9(mA+mB)=7∗mA∗mBm+9mAB+9(mA+mB)=7*mA*mBm+9mAB+9(mA+mB)=7mAmB
1+9AB+9(A+B)=7mAB1+9AB+9(A+B)=7mAB1+9AB+9(A+B)=7mAB
1+9AB+9(A+B)AB=7m\frac{1+9AB+9(A+B)}{AB}=7mAB1+9AB+9(A+B)=7m
1AB+9+9B+9A=7m\frac{1}{AB}+9+\frac{9}{B}+\frac{9}{A}=7mAB1+9+B9+A9=7m
7m=9+1AB+9B+9A7m=9+\frac{1}{AB}+\frac{9}{B}+\frac{9}{A}7m=9+AB1+B9+A9
这样,我们就可以对该方程进行放缩。
根据题目定义 a,b∈N+→A,B∈N+a,b\in N+ \rightarrow A,B\in N+a,bN+A,BN+
9<7m≤9+1+9+99<7m \leq 9+1+9+99<7m9+1+9+9
9<7m≤28→97<m≤2879<7m \leq 28 \rightarrow \frac{9}{7} < m \leq \frac{28}{7}9<7m2879<m728
m=2,3,4m=2,3,4m=2,3,4。下面我们进行分类讨论即可。

  1. m=2m=2m=2
    方程变为 5AB−9(A+B)−1=05AB-9(A+B)-1=05AB9(A+B)1=0。可以分类讨论,也可以使用因式分解。(5A−9)(5B−9)=86(5A-9)(5B-9)=86(5A9)(5B9)=86
    86=1∗86=2∗4386=1*86=2*4386=186=243
    解得 A=19,B=2A=19, B=2A=19,B=2,即 a=mA=38,b=mB=4a=mA=38, b=mB=4a=mA=38,b=mB=4
  2. m=3m=3m=3
    无解。
  3. m=4m=4m=4
    解得 A=1,B=1A=1,B=1A=1,B=1,即 a=mA=4,b=mB=4a=mA=4, b=mB=4a=mA=4,b=mB=4
    综上。对应得解为 (4,4),(4,38),(38,4)(4,4),(4,38),(38,4)(4,4),(4,38),(38,4)
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