数论作业 —— 同余理论

求 $145^{89}+3^{2002}$ 除以 $13$ 的余数

知识点

同余理论。

解

$\because 145=11\times 13+2$
$\therefore 145^{89}\equiv (11\times 13+2{)}^{89}\equiv 2^{89}(\mathrm{mod}13)$
下面我们继续找 $2^{89}$ 和 $13$ 的关系。$64=13\times 5-1$。
$2^6=64=13\times 5-1$
$2^{89}=2^5\cdot (2^6{)}^{14}=2^5\cdot (13\times 5-1{)}^{14}$
即 $2^{89}\equiv 2^5\cdot (-1{)}^{14}\equiv 6(\mathrm{mod}13)$
再找 $3^{2020}$ 和 $13$ 的关系。$3^3=27=2\times 13+1$。
即 $3^{2020}\equiv 3^1\cdot (3^3{)}^{673}\equiv 3\cdot (26+1{)}^{672}\equiv 3\cdot (1{)}^{672}\equiv 3(\mathrm{mod}13)$
$\therefore (145^{89}+3^{2020})\equiv (6+3)\equiv 9(\mathrm{mod}13)$

求 $2021^{{2022}^{2023}}$ 的末三位。

知识点

同余问题。

解

$2022^{2023}\equiv (2000+22{)}^{2023}\equiv 22^{23}\equiv 848(\mathrm{mod}1000)$
$2021^{{2022}^{2023}}\equiv 2021^{848}\equiv (2000+21{)}^{848}\equiv 21^{848}(\mathrm{mod}1000)$
使用杨辉三角展开，可得
$21^{848}=(20+1{)}^{848}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{848}{0})\cdot 20^{848}\cdot 1^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{848}{1})\cdot 20^{847}\cdot 1^1+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{848}{845})\cdot 20^3\cdot 1^{845}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{848}{846})\cdot 20^2\cdot 1^{846}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{848}{847})\cdot 20^1\cdot 1^{847}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{848}{848})\cdot 20^0\cdot 1^{848}$
末三位只和最后三项有关。
$$\begin{gathered} ((\genfrac{}{}{0ex}{}{848}{846})\cdot 20^2\cdot 1^{846})(\mathrm{mod}1000) \\ =((\genfrac{}{}{0ex}{}{848}{2})\cdot 20^2\cdot 1^{846})(\mathrm{mod}1000) \\ =(\frac{848\ast 847}{2}\cdot 400)(\mathrm{mod}1000) \\ =(848\ast 847\ast 200)(\mathrm{mod}1000) \\ =((848\ast 200)(\mathrm{mod}1000)\ast 847)(\mathrm{mod}1000) \\ =(600\ast 847)(\mathrm{mod}1000) \\ =508200(\mathrm{mod}1000)=200 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} ((\genfrac{}{}{0ex}{}{848}{847})\cdot 20^1\cdot 1^{847})(\mathrm{mod}1000) \\ =((\genfrac{}{}{0ex}{}{848}{1})\cdot 20^1\cdot 1^{847})(\mathrm{mod}1000) \\ =(848\times 20\times 1)(\mathrm{mod}1000) \\ =960 \end{gathered}$$
$((\genfrac{}{}{0ex}{}{848}{848})\cdot 20^0\cdot 1^{848})(\mathrm{mod}1000)=1$
即末三位为 $(200+960+1)(\mathrm{mod}1000)=161$