背包问题(Knapsack Problem)—— 序言

本文介绍了背包问题的概念,强调在不可切分物品的情况下,如何通过动态规划来寻找最大价值的物品组合。分数背包问题被提及,但主要讨论的是不可切分物品的背包问题,其中涉及重量、价值、背包总重量和动态规划数组等核心变量的定义。

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背包问题(Knapsack Problem)

什么是背包问题

将一群物品放入一个背包中,令背包里面的物品价值最高。

在这里插入图片描述

用数学术语来说,背包问题就是选择一个最理想的物品子集合,在符合重量限制的前提下,求最大的利益。

分数背包问题(Fractional Knapsack Problem)

分数(Fractional)的意思,就是一个物品可以切下一个部分,只取某个部分放入背包。

这样的问题,我们可以指定一个贪心(Greedy)策略:价值与重量的比值最高的物品,优先放进背包。这样的策略,时间复杂度为 O(N)O(N)O

### 使用Python实现0-1背包问题 对于给定的一系列物品以及一个容量有限的背包,目标是在不超过背包容量的前提下最大化所选物品的总价值。这个问题可以通过动态规划来高效解决。 #### 动态规划的核心概念在于: - **状态定义**:创建二维数组`dp[i][j]`表示前`i`个物品中选取若干个,在总体积恰好等于`j`的情况下可以获得的最大价值。 - **转移方程**:如果当前考虑的是第`i`个物品,则有两种情况: - 不选择该物品:`dp[i][j]=dp[i−1][j]` - 选择该物品(前提是还能放下): `dp[i][j]=max(dp[i−1][j], dp[i−1][w−weights[i]]+values[i])`,其中`w`代表背包剩余空间[^3] 下面是具体的Python代码实现: ```python def knapsack_01(weights, values, capacity): n = len(values) # 创建并初始化dp表 dp = [[0]*(capacity + 1) for _ in range(n + 1)] # 构建dp表格 for i in range(1, n + 1): for w in range(capacity + 1): if weights[i-1] <= w: dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-weights[i-1]] + values[i-1]) else: dp[i][w] = dp[i-1][w] return dp[-1][-1] if __name__ == "__main__": # 测试数据 weights = [1, 3, 4] values = [15, 20, 30] capacity = 4 result = knapsack_01(weights, values, capacity) print(f"最大可获得的价值为:{result}") ``` 这段程序实现了基于动态规划方法求解0-1背包问题的功能,并给出了测试实例的结果展示。通过调整输入参数中的权重列表、价值列表和背包容量,可以方便地应用于其他场景下的优化决策过程[^4].
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