IAI 2022年5月丙组 T4 题解

最新推荐文章于 2024-05-09 16:49:50 发布

努力的老周

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分类专栏： OJ题解文章标签：题解 IAI月赛

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/justidle/article/details/124520401

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这篇博客探讨了一种优化算法，用于解决在大量点集中找出曼哈顿距离最大的两个点的问题。原始暴力算法的时间复杂度为O(N^2)，但通过对点的坐标进行特定转换并排序，可以将时间复杂度降低到O(n log n)。博客详细介绍了分类讨论和优化过程，并给出了AC代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给 $n$ 个点，每个点坐标为 $x_i, y_i)$ 。
要求我们其中找到两个点，使得这两个点之间的曼哈顿距离最大。

暴力求解

首先，我们想到一个暴力的算法。

LL maxx=0;
for (LL i=1; i<=n; i++) {
	for (LL j=1; j<=n; j++) {
		if (i==j) {
			//同一个点
			continue;
		}
		maxx = max(maxx, abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j]);
	}
}

时间复杂度

很容易知道暴力的时间复杂度为 $O(N^2)$ 。
由于本题的 $n$ 相对比较大，达到 $10^5$ 级别，因此这样的算法本题一定是 TLE。

优化算法

根据暴力的算法，我们知道需要优化部分就是 $x_i-x_j|+|y_i-y_j|$ 。
为了不失通用性，我们可以假设这两点就是 $x_1$ 和 $x_2$ 。那么本题就变为求 $x_1-x_2|+|y_1-y_2|$ 。
我们分类讨论：

$x_1>x_2, y_1> y_2$ ，变为 $x1−x2+y1−y2→(x1+y1)+((−x2)+(−y2))x_1-x_2+y_1-y_2 \to (x_1+y_1)+((-x_2)+(-y_2))$ ；
$x_1>x_2, y_1<y_2$ ，变为 $x1−x2+y2−y1→(x1−y1)+((−x2)+y2)x_1-x_2+y_2-y_1 \to (x_1-y_1)+((-x_2)+y_2)$ ；
$x_1<x_2, y_1>y_2$ ，变为 $x2−x1+y1−y2→(−(x1)+y1)+(x2−y2)x_2-x_1+y_1-y_2 \to (-(x_1)+y_1)+(x_2-y_2)$ ；
$x_1<x_2, y_1<y_2$ ，变为 $x2−x1+y2−y1→((−x1)+(−y1))+(x2+y2)x_2-x_1+y_2-y_1 \to ((-x_1)+(-y_1))+(x_2+y_2)$ ；

通过观察上面的结果，我们发现，需要计算如下 $4$ 个部分： $x_1+y_1, x_1-y_1, -x_1+y_1, -x_1-y_1$ 即可。
也就是说，每次将一个点，分解为 $4$ 个点。通过分别对 $4$ 个方向点排序，这样最小值在下标为 $1$ 的数组，最大值在下标为 $n$ 的数组中。我们只需要计算一下这 $4$ 个方向点的最大值即为答案。

AC 参考

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL=long long;
const int N=1e6+10;
LL a[6][N];
int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	LL n;
	cin>>n;
	for (LL i=1; i<=n; i++) {
		LL x,y;
		cin>>x>>y;
		a[1][i]=x+y;
		a[2][i]=-x+y;
		a[3][i]=x-y;
		a[4][i]=-x-y;
	}
	for (LL i=1; i<=4; i++) {
		sort(a[i]+1, a[i]+1+n);
	}

	LL maxx=0;
	for (LL i=1; i<=4; i++) {
		maxx=max(maxx, a[i][n]-a[i][1]);
	}
	cout<<maxx<<"\n";

	return 0;
}