矩阵的迹（Trace）

最新推荐文章于 2023-04-22 10:59:07 发布
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#矩阵 #迹 #线性代数

在线性代数中，矩阵的迹是指主对角线上元素的和，等同于其特征值的代数重数之和。例如，一个2x2矩阵的迹是其对角元素的和。矩阵迹的性质包括迹的线性性质、迹与转置的关系以及迹与行列式的联系。这些概念在数值分析和线性代数的许多应用中都至关重要。

定义

在线性代数中，一个 n*n 的矩阵 A 的迹（或迹数），是指 A 的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和，一般记作 tr(A) 或 sp(A)：tr(A)=A_{11}+A_{22}+\cdots +A_{nn}=\sum _{i=1}^{n}A_{ii}。

一个矩阵的迹是其特征值得总和，按代数重数计算。

例子

矩阵 A=\begin{bmatrix} 3 & 5 & 1\\ 0 & 9 & 2\\ 7 & 6 & 4 \end{bmatrix}，它的迹是 tr(A)=A_{11}+A_{22}+A_{33}=3+9+4=16。

性质

  • tr(A+B)=tr(A)+tr(B)；
  • tr(k\cdot A)=k\cdot tr(A)；
  • tr(A)=tr(A^T)；
  • tr(AB)=tr(BA). \\ Proof:tr(AB)=\sum _{i=1}^{n}(AB)_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}A_{ij}B_{ij}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}B_{ji}A_{ij}=\sum _{j=1}^{m}(BA)_{jj}=tr(BA)
  • tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)，注意：tr(ABC)\neq tr(ACB)。
【数学】【矩阵】迹（Trace）及相关性质
AbaloneVH的博客
10-19 2万+
本文给出了迹(trace)的性质及其与偏导的常见混合运算结果。
关于矩阵的迹的几个性质证明
chan15的博客
11-20 5万+
由于这里没有公式编译器，我将以图片形式证明。 1、矩阵的迹是什么？ 矩阵的迹是特征值的加和。 2、矩阵的迹的性质及其证明。
Matlab专题二
weixin_41949409的博客
09-09 1015
一、特殊矩阵 1、 通用类型特殊矩阵 zeros 函数：产生全0矩阵，即零矩阵 ones 函数：产生全1矩阵，即么矩阵。 eye 函数：产生对角线为1的矩阵。当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵。 rand 函数：产生(0,1)区间均匀分布的随机矩阵。 randn 函数：产生均值为0,方差为1的标准正态分布随机矩阵。 zeros函数的调用格式： zeros(m)：产生m×m零矩阵。 zeros(m,n)：产生m×n零矩阵。 zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。 2...
什么是矩阵的迹
大坡3D软件开发
03-02 4万+
在学习andrew ng的深度学习公开课里，可看到一段与数据的矩阵相关的，这里提出了求trace的算法以及规则，虽然学习过高数，线代，概率论，还有数理方程等等，但还是没有什么印象，一脸迷茫。这段相关的文本，我放到这里，如下：只能先百度一下：在线性代数中，一个n×n的对角矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。例子如下：对角元素是a
矩阵的迹（trace）
Girl_We_Got_A的博客
11-14 1061
介绍了矩阵的迹（trace）的定义及一些常用性质。
matlab.rar_比较器仿真_矩阵迹
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在MATLAB环境中，比较器仿真和矩阵迹是两个重要的数学概念，它们在信号处理、控制系统设计和数值计算等领域有着广泛的应用。本项目旨在通过仿真分析，对比不同矩阵迹检测器在实际问题中的性能表现。 首先，我们要...
机器学习中对矩阵的迹（trace）求导的一些操作
咚咚锵的博客
05-10 2万+
机器学习中经常涉及到一些优化工作，尤其是对F-Norm转化成矩阵的迹（trace）来求导的，这里写一下常用的情况，供参考
矩阵迹
HTL2018的博客
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矩阵迹 trace 的一些性质： 对于矩阵 XXX 有： 转置迹trace一样：tr⁡(X⊤)=tr⁡(X)\operatorname{tr}\left(X^{\top}\right)=\operatorname{tr}(X)tr(X⊤)=tr(X) ； 线性拆分：tr⁡(A+B)=tr⁡(A)+tr⁡(B)\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)tr(A+B)=tr(A)+tr(B) 参考链接： 矩阵求导的Trac
矩阵的迹
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03-25 8545
概念 迹，是线性代数中的概念，矩阵的迹：主对角线（左上至右下的那一条）上所有元素之和。记作tr(A)，其中A为方阵。 性质 迹数拥有相似不变性。如果矩阵A和B相似的话，它们会有相同的迹。 与特征值的关系 若n阶方阵A的特征值为a1,a2,a3......an，则tr(A)=a1+a2+......+an。 A*（A的伴随阵）的迹为tr(A*)=|A|/a1+|A|/a2+........+|A|/an。(|A|为A的行列式，a1,a2,a3......an为A的特征值) 转自...
矩阵的迹（Tr）
Yancy的博客
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迹运算返回的是矩阵对角元素的和: 若不使用求和符号，有些矩阵运算很难描述，而通过矩 阵乘法和迹运算符号可以清楚地表示。例如，迹运算提供了另一种描述矩阵Frobenius范数的方式: 用迹运算表示表达式，我们可以使用很多有用的等式巧妙地处理表达式。例如迹运算在转置运算下是不变的: 多个矩阵相乘得到的方阵的迹，和将这些矩阵中的最后一个挪到最前面之后相乘的迹是相同的。当然，我们需要考虑...
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矩阵的迹
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欢迎来到道的世界
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1.矩阵迹的定义 矩阵迹是指矩阵对角线元素之和Tr(A)=∑iAi,i\mathrm{Tr}(\boldsymbol{A})=\sum_{i}\boldsymbol{A}_{i,i}Tr(A)=i∑​Ai,i​矩阵迹另一个种描述可以用矩阵的Frobenius范数的方式：∥A∥F=Tr(AA⊤)\|\boldsymbol{A}\|_F=\sqrt{\mathrm{Tr(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\top})}}∥A∥F​=Tr(AA⊤)​。 2.矩阵迹的性质 性质1：矩阵迹
矩阵迹（trace）, 行列式（determinate）（转载）
TanJXzzZ的博客
04-22 9393
如何理解矩阵的乘法？上面那幅图还有个有意思的地方，用了金、篆、隶、楷来写“迹”字，虽然各有千秋，却又“相似”，彷佛在暗示，线代中的“迹”反映出矩阵“相似”这个特征。可见，这就是一个围绕蓝点旋转的线性变换，并且作为文章作者，我可以准确的告诉你，所有的点旋转了 弧度（蓝点，即中心点也可以认为旋转了 弧度）。扩展到3x3的矩阵，那行列式 就是一个 平行六面体，同样的，在每个边沿自己的方向变化的时候，这个平行六面体的体积就会变化。因为A、B代表同一个线性变换，而根据行列式的意义，行列式代表的是线性变换的伸缩比例。
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1. 迹（trace） 矩阵的迹（trace）表示矩阵 A AA 主对角线所有元素的和 2. 行列式（determinant） 矩阵 A AA 的行列式值记为 det(A)det ( A )det(A)。 https://blog.youkuaiyun.com/robert_chen1988/article/details/88576194
matlab 矩阵运算 trace
最新发布
01-25
### MATLAB 中 `trace` 函数的用法与解释 在 MATLAB 中，`trace` 函数用于计算方阵的迹 (Trace)，即矩阵主对角线上的元素之和。对于给定的一个 n×n 的方阵 A，其迹定义为： \[ \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} \] 其中 \(a_{ii}\) 表示第 i 行第 i 列的元素。 #### 基本语法 ```matlab T = trace(A); ``` 这里 `A` 是输入矩阵，而 `T` 将存储该矩阵的迹的结果[^1]。 #### 示例代码 下面是一个简单的例子来展示如何使用 `trace` 函数： ```matlab % 创建一个 3x3 随机矩阵 A = rand(3); % 计算并显示这个随机矩阵的迹 disp(['The trace of the random matrix is ', num2str(trace(A))]); ``` 此段程序会创建一个 3x3 大小的随机数矩阵，并通过调用 `trace()` 来求得它的迹，最后打印出来。 为了进一步理解 `trace` 函数的作用，可以考虑另一个具体的实例： ```matlab B = [4 9 2; 3 5 7; 8 1 6]; result = trace(B); % 应返回 4 + 5 + 6 = 15 disp(result); ``` 这段代码构建了一个特定的 3x3 矩阵 B 并对其应用了 `trace` 函数，预期输出应为整数值 15，因为这是沿着主对角线上所有元素相加后的总和。
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