AtCoder题解——Beginner Contest 177——C - Sum of product of pairs

最新推荐文章于 2024-02-25 19:31:28 发布

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本文介绍AtCoder竞赛中一题目的高效算法，针对N个整数求所有两两乘积之和的问题，提出一种O(N)的解决方案，避免了传统O(N^2)算法的时间超限问题。通过前缀和的预处理技巧，实现快速计算并讨论了大数取模的数论知识。

题目相关

题目链接

AtCoder Beginner Contest 177 C 题，https://atcoder.jp/contests/abc177/tasks/abc177_c。

Problem Statement

Given are N integers A1, …, AN.

Find the sum of Ai×Aj over all pairs (i,j) such that 1 ≤ i < j ≤ N, modulo (10^9+7).

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
A1 … AN

Output

Print $\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^{N}}A_{i}*A_{j}$ . modulo ( $10^{9}+7$ ).

Samples1

Sample Input 1

3
1 2 3

Sample Output 1

Explaination

We have 1×2+1×3+2×3=11.

Samples2

Sample Input 2

4
141421356 17320508 22360679 244949

Sample Output 2

437235829

Constraints

2 ≤ N ≤ 2×10^5
0 ≤ Ai ≤ 10^9
All values in input are integers.

题解报告

题目翻译

给 N 个整数 A1, A2, ..., An，求 Ai*Aj 的总和，其中 1 ≤ i < j ≤ N，由于这个值会很大，对 10^9+7 取模。

题目分析

本题的核心就是计算公式： $\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^{N}}A_{i}*A_{j}$ 。由于 N 的范围是 2 ≤ N ≤ 2×10^5，我们知道，直接使用双重循环来计算，肯定是一个 TLE 的结果。

for (int i=1; i<=n-1; i++) {
    for (int j=i+1; j<=n; j++) {
        ans += a[i]*a[j];
    }
}

因为使用双重循环的时间复杂度为 O(N^2)，对于 2e5 的数据，这点时间肯定是不够的，因此我们需要做的是对算法进行优化，将算法的时间复杂度降低为 O(N)。

我们可以直接将计算公式展开得到如下：

$\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^{N}}A_{i}*A_{j}\\=A_{1}*A_{2}+A_{1}*A_{3}+...+A_{1}*A_{N}+A_{2}*A_{3}+A_{2}*A_{4}+...+A_{2}*A_{N}+...+A_{N-1}*A_{N}\\=A_{1}*(A_{2}+A_{3}+...+A_{N})+A_{2}*(A_{3}+A_{4}...+A_{N})+...+A_{N-1}*(A_{N})$

这样 $A_{2}+A_{3}+...+A_{N}$ 看上去是不是很眼熟，不错，就是前缀和。也就是，我们可以通过前缀和这个预处理，来降低算法的复杂度，这样，我们通过数学将 O(N^2) 的时间复杂度，降低到了 O(N)。

这样本题我们就可以通过了。

由于数据比较大，需要进行取模，那么就需要用到数论中的取模定理。

AC 参考代码

//177 c 求乘积之和
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=2e5+6;
long long sl[MAX],sz[MAX];
int main(){
  int n;
  cin>>n;
  for (int i=1;i<=n;i++) {
    cin>>sl[i];
    sz[i]=(sz[i-1]+sl[i]); 
  }
  long long ans=0;
  for (int j=1;j<=n;j++) {
    ans+=(sl[j]%1000000007)*((sz[n]-sz[j])%1000000007);
    ans%=1000000007;
  }
  cout<<ans<<endl;
  return 0;
}