【取模注意】AtCoder - abc177_c Sum of product of pairs

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本题题意是对每对数字求乘积，然后对所有乘积求和。

容易想到用前缀和去处理，用第i个数乘以【第i+1之后所有数的和】，对每个i这样操作，得到的数再求和，就是最终的答案。

但问题在于，数字可能很大，需要取模。

【模运算的性质】

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）【注意：两个取模的结果进行相减操作时（易知前面的数理论上应该大，但取模之后可能小于后面的数）此时应该加上MOD或其倍数，再对相减结果进行取模，从而保证输出为正】

3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

4. a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

最初的错误代码是：
 

#include<stdio.h>
typedef long long ll;
ll a[200005];
ll num[200005];
const int mod = 1000000007;
int n;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	ll ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		scanf("%lld",&num[i]);
		a[i] = (a[i-1] + num[i])%mod;
	}
	
	for(int i = 1;i <= n-1;i++){
		ans = (ans + num[i]*(a[n]-a[i]))%mod;
	}
	
	printf("%lld\n",ans);
}

错误原因：没有考虑相减可能负数；取余不充分。

首先应该注意的是：

对于

           a[i] = (a[i-1] + num[i])%mod;

而言，这样求出来的前缀和就不再是原来意义上的前缀和，因为取模之后，后面的数可能比前面的数小，这时候正确的做法是在下面再次加mod.

所以下面要写成：

        ans = (ans + num[i]*(a[n]-a[i]+mod))%mod;

这样就能把可能是负数的a[n] - a[i]变成“正数”，且最终结果不变。

当然，为了保险起见，还要写成

        ans = (ans + (  (num[i]%mod)  *  (  (a[n]-a[i]+mod)%mod  ) )%mod;

最终AC的代码也就变成了：

#include<stdio.h>
typedef long long ll;
ll a[200005];
ll num[200005];
const int mod = 1000000007;
int n;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	ll ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		scanf("%lld",&num[i]);
		a[i] = (a[i-1] + num[i])%mod;
	}
	
	for(int i = 1;i <= n-1;i++){
		ans = (ans + ((num[i]%mod)*((a[n]-a[i]+mod)%mod))%mod)%mod;
/*用到的性质:
(a*b) % p = (a%p * b%p)%p，每一次这个小部分都满足性质相等
所有数相加后取余，等于【当前加数】加上前面所有数求和取余的结果，然后再最终取余。这样不会超出long long范围，而且结果正确
*/
	}
	
	printf("%lld\n",ans);
}

 

当然，最正常的思路应当是：

#include<stdio.h>
typedef long long ll;
ll a[200005];
ll num[200005];
const int mod = 1000000007;
int n;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	ll ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		scanf("%lld",&num[i]);
		a[i] = a[i-1] + num[i];//实际上long long最多是10^14，可以存储，无需取模
	}
	
	for(int i = 1;i <= n-1;i++){
	    ans = (ans + (  ((num[i])%mod)  *  (((a[n]-a[i]))%mod)  ) %mod ) %mod;
/*用到的性质:
(a*b) % p = (a%p * b%p)%p，每一次这个小部分都满足性质相等
所有数相加后取余，等于【当前加数】加上前面所有数求和取余的结果，然后再最终取余。这样不会超出long long范围，而且结果正确
*/
	}
	
	printf("%lld\n",ans);
}