hdu 5628 Clarke and math Dirichlet卷积

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本文详细介绍了如何通过Dirichlet卷积解决HDU5628题目，包括快速幂和卷积操作的具体实现，并提供了一个完整的C++代码示例。

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5628
题意：可以翻比赛的中文题面
解法：是有DP的做法的，但是蒟蒻YY了很久还是不会，可以看卿学姐的DP题解，http://www.cnblogs.com/qscqesze/p/5194989.html 所以按照官方题解，学了一下
设f,g为两个数论函数，那么规定 (f∗g)(n)=∑d|n f(d)g(n/d)为f,g的Dirichlet卷积

该运算满足交换律、结合律、分配律。

并且存在一个幺元e，使得e＊f ＝ f。当i ＝ 1 时 e[i] = 1，i != 1 时 e[i] = 0;

另函数 h[i] 恒等于 1.

g(i)=∑i1∣i∑i2∣i1∑i3∣i2⋯∑ik∣ik−1f(ik) ＝ ∑i1∣i∑i2∣i1∑i3∣i2⋯∑ik∣ik−1f(ik) *h(ik) .

化为Dirichlet卷积形式，g(i) = (f*h^k)(i)

由于满足交换律，先利用快速幂h^k。最后再拿h^k的结果与f卷积（注意，两个函数卷积的结果是函数，而不是值）

每次Dirichlet卷积的复杂度为 O(n*logn),进行logk次卷积计算，单组复杂度O(n*logn*logk).

//HDU 5628 Dirichlet卷积

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
const long long mod = 1e9+7;
template <class T1, class T2> inline void gadd(T1 &a, T2 b){a += b; if(a > mod) a%= mod;}
int n, k;
long long f[maxn], ans[maxn], tem[maxn], x[maxn];
void Dirichlet(long long *ans, long long *x)//Dirichlet卷积
{
    memset(tem, 0, sizeof(tem));
    for(int i = 1; i*i <= n; ++i)
    {
        gadd(tem[i*i],ans[i]*x[i]%mod);
        for(int j = i+1; j*i <= n; ++j)
        {
            gadd(tem[i*j],ans[i]*x[j]%mod);
            gadd(tem[i*j],ans[j]*x[i]%mod);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) ans[i] = tem[i];
}

void cal(){
    while(k){
        if(k&1) Dirichlet(ans, x);
        Dirichlet(x, x);
        k >>= 1;
    }
    Dirichlet(ans, f);//乘f
}
void work(){
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%lld", &f[i]);
        ans[i] = 0;
        x[i] = 1;//初始ans为幺元，x为恒等于1的函数
    }
    ans[1] = 1;
    cal();
    for(int i = 1; i < n; i++) printf("%lld ", ans[i]);
    printf("%d\n", ans[n]);
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        work();
    }
    return 0;
}