BZOJ 1084: [SCOI2005]最大子矩阵 DP

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本文探讨了一个n*m的二维矩阵中选择k个不重叠子矩阵以获得最大分值和的问题，并提供了一种动态规划解决方案，适用于两行的矩阵。通过定义状态dp[k][i][j]来迭代更新最优解。

Description

　　这里有一个n*m的矩阵，请你选出其中k个子矩阵，使得这个k个子矩阵分值之和最大。注意：选出的k个子矩阵
不能相互重叠。
Input

　　第一行为n,m,k（1≤n≤100,1≤m≤2,1≤k≤10），接下来n行描述矩阵每行中的每个元素的分值(每个元素的
分值的绝对值不超过32767)。
Output

　　只有一行为k个子矩阵分值之和最大为多少。
Sample Input
3 2 2

1 -3

2 3

-2 3
Sample Output
9

解题方法：一行的太简单了，不说了。对于两行的，定义状态 dp[k][i][j]表示选了 k 个矩形，对于第 1 列中，最后一个方格是第 i 个，对于第 2 列，最后一个方格是第 j 列，那么显然我们可以用 dp[k－1][i’][j]和 dp[k－1][i][j’]来更新dp[k][i][j]，特别要注意的是当 i＝j 时，还需要用 dp[k－1][i’][j’]来更新 dp[k][i][j]，时间复杂度是 O(n 3 m)，n 是列数，m 是选择的矩阵个数。注意以前这个题的数据是有bug，不初始化为inf，也可以过。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 110;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int g[maxn][maxn], f[maxn][maxn][maxn];
int s[maxn], s1[maxn], s2[maxn];
int n, m, k;
int main(){
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    if(m == 1){
        for(int i = 0; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= k; j++){
                g[i][j] = -inf;
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            int x;
            scanf("%d", &x);
            s[i] = s[i - 1] + x;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= k; j++){
                g[i][j] = g[i-1][j];
                for(int l = i - 1; l >= 0; l--){
                    g[i][j] = max(g[i][j], g[l][j - 1] + s[i] - s[l]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n", g[n][k]);
    }
    else{
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            int x, y;
            scanf("%d%d", &x, &y);
            s1[i] = s1[i - 1] + x;
            s2[i] = s2[i - 1] + y;
        }
        for(int i = 0; i <= n; i++){
            for(int j = 0; j <= n; j++){
                for(int l = 1; l <= k; l++){
                    f[i][j][l] = -inf;
                }
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= n; j++){
                for(int l = 1; l <= k; l++){
                    f[i][j][l] = max(f[i-1][j][l], f[i][j-1][l]);
                    for(int x = i - 1; x >= 0; x--) f[i][j][l] = max(f[i][j][l], f[x][j][l-1] + s1[i] - s1[x]);
                    for(int y = j - 1; y >= 0; y--) f[i][j][l] = max(f[i][j][l], f[i][y][l-1] + s2[j] - s2[y]);
                    if(i == j){
                        for(int x = i - 1; x >= 0; x--){
                            f[i][j][l] = max(f[i][j][l], f[x][x][l-1] + s1[i] - s1[x] + s2[i] - s2[x]);
                        }
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d\n", f[n][n][k]);
    }
    return 0;
}