POJ 2096 Collecting Bugs_pojcollecting bugs-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/just_sort/article/details/51500750

本文介绍了一个关于软件中寻找所有类型Bug并确保每个子系统至少有一个Bug所需时间期望值的问题。通过建立动态规划模型，详细解析了递推公式及其逆向求解过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题意】

一个软件有 s 个子系统，存在 n 种 bug。某人一天能找到一个 bug。问，在这个软件中找齐 n 种 bug，并且每个子系统中至少包含一个 bug 的时间的期望值（单位：天）。注意：bug 是无限多的，每个 bug 属于任何一种 bug 的概率都是 1/n；出现在每个系统是等可能的，为 1/s。

【分析&解题思路】

令 dp[i][j] 表示已经找到了 i 种 bug，且 j 个子系统至少包含一个 bug，距离完成目标需要的时间的期望。

目标状态是 dp[0][0]

再过一天找到一个 bug 可能是如下的情况：

1. 这个 bug 的种类是已经找到的并且出现在已经找到 bug 的子系统中

2. 这个 bug 的种类是已经找到的并且出现在没有找到 bug 的子系统中

3. 这个 bug 的种类是没有找到的并且出现在已经找到 bug 的子系统中

4. 这个 bug 的种类是没有找到的并且出现在没有找到 bug 的子系统中

经过简单的分析，不难得出如下递推过程：

dp[i][j] = i/n*j/s*dp[i][j]

+ i/n*(s-j)/s*dp[i][j+1]

+ (n-i)/n*j/s*dp[i+1][j]

+ (n-i)/n*(s-j)/s*dp[i+1][j+1]

移项可得

(1-(i*j)/(n*s))dp[i][j] = i/n*(s-j)/s*dp[i][j+1]

+ (n-i)/n*j/s*dp[i+1][j]

+ (n-i)/n*(s-j)/s*dp[i+1][j+1]

逆向递推即可

【参考blog】点击打开链接

[AC代码]

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
double dp[maxn][maxn];
int n,s;
int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&s)){
        //memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[n][s]=0;
        for(int i=n; i>=0; i--){
            for(int j=s; j>=0; j--){
                if(i==n&&j==s) continue;
//              dp[i][j]=(i/n*(s-j)/s*dp[i][j+1]+(n-i)/n*j/s*dp[i+1][j]+(n-i)/n*(s-j)/s*dp[i+1][j+1])/(1-(i*j)/(n*s));
                double p1=(double(s-j)*i)/n/s;
                double p2=(double(n-i)*j)/n/s;
                double p3=(double(n-i)*(s-j))/n/s;
                double p0=(1.0-(double(i*j))/n/s);
                dp[i][j]=p1*dp[i][j+1]+p2*dp[i+1][j]+p3*dp[i+1][j+1]+1;//注意天数的期望，每一次相当于多了一天。
                dp[i][j]/=p0;
            }
        }
        printf("%.4f\n",dp[0][0]);
    }
    return 0;
}