UVa 11401 - Triangle Countin

最新推荐文章于 2020-03-08 19:50:52 发布

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本文探讨了如何通过组合数学和计数原理解决一个特定的数学问题：在给定长度范围内的木棍中，有多少种方式可以组成合法的三角形。通过分析数据规律，我们得到了一个通用的求解公式，并提供了简化后的AC代码实现。

【题意】给了n根木棍，木棍的长度是1-n，问有多少种方式可以组成合法的三角形，n的上限可以到1000000。

【解题思路】当然，这题是数学题，当然要想办法找规律了。我自己推了很久，都没发现，自己太弱啦，只能看网上的解法了。

【他人的思路】

组合数学，计数原理。本题可以正向求解也可以反向求补集，这里采用正向求解。

1.首先写出前几组数据，找规律：{ 里面的括号是子情况 }

（4，3，（2））

（5，4，（3，2））

（6，5，（4，3，2））（6，4，（3））

（7，6，（5，4，3，2））（7，5，（4，3））

（8，7，（6，5，4，3，2））（8，6，（5，4，3））（8，5，（4））

对于上述的数据采用记号[a，b，c，...] 记录对应每种的子情况数，则转化如下：

[1]

[2]

[3，1]

[4，2]

[5，3，1]

观察发现，每组中对应的子情况数依次递增1，每当最后的一组变为3时，后面就出现新的组；

这是因为n的奇偶性不同产生的影响，当最长的边为l时，对应存在的解应该如下：

（l，l-1，（2））（l，l-2，（3，2）），... ，（l，l-k，（k，..，2））

无论l的奇偶性，k均取值l/2（这里是整除），因此解的个数与奇偶性相关的；

2.然后观察计算

解的个数为：n-3 + n-5 + .. + r；{ n为奇数r为2，n为偶数r为1 }

分就两种情况求通向公式有：

f（n）=（n^2 + 4n +4）/ 4 { n为偶数 }；f（n）= （n^2 + 4n +3）/ 4 { n为奇数 }；

因为写成程序时是整除运算，所以这里都是用偶数的通项公式没有影响；

因此有：f（n）= （n^2 + 4n +4）/ 4，为最长边为n时的解的个数，求和输出即可。

说明：注意使用long long类型。

【按照公式简单获取AC代码】

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll unsigned long long
const int maxn = 1000002;
ll a[maxn],sum[maxn];
int main()
{
    sum[3]=0;
    for(int i=4; i<=maxn; i++)
    {
        a[i] = (ll)(i*i-i*4+4)/4;
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)&&n>=3)
    {
        printf("%llu\n",sum[n]);
    }
    return 0;
}