18、主成分分析与次要成分分析算法的收敛性与稳定性研究

主成分分析与次要成分分析算法的收敛性与稳定性研究

1. 引言

在数据处理和分析领域，主成分分析（PCA）和次要成分分析（MCA）是非常重要的技术。PCA 用于提取数据的主要特征，而 MCA 则关注数据的次要特征。目前已经提出了许多统一的 PCA 和 MCA 算法，但对这些算法进行确定性离散时间（DDT）分析并推导保证收敛条件的工作相对较少。本文将对相关算法进行详细分析，为算法的应用提供理论基础。

2. 新型 MCA 算法的 DDT 系统分析

2.1 平衡点稳定性分析

对于平衡点 $\hat{V} j(j = 1, 2, \cdots, n)$，通过公式推导得到：
$\frac{\partial G}{\partial W}\big| {\hat{V}_j} = I + \eta [k_jI - R - 2\hat{V}_j\hat{V}_j^T - \alpha k_j\hat{V}_j\hat{V}_j^T] = J_j$
经过简单运算，$J_j$ 的特征值为：
$\alpha_j^{(i)} = \begin{cases}
1 + \eta(k_j - k_i), & i \neq j \
1 - \eta(2 + \alpha k_j), & i = j
\end{cases}$
对于任意 $j \neq n$，有 $\alpha_j^{(n)} = 1 + \eta(k_j - k_i) > 1$，所以平衡点 $\hat{V}_j(j \neq n)$ 是不稳定的。对于平衡点 $\hat{V}_n$，由 $\eta k_n <