23、上下文无关树文法的统一成员问题复杂度分析

上下文无关树文法的统一成员问题复杂度分析

1. 引言

在对上下文无关树文法（cftg）的统一和非统一成员问题进行分析时，证明其在相应复杂度类中的包含关系，依赖于对从输入 cftg 通过特定引理得到的下推自动机（pta）进行一系列变换。下面将详细介绍这些变换以及相关的概念和结论。

2. 基本引理

2.1 引理 1

存在上下文无关树文法 $G$ 使得 $L = L(G)$ 当且仅当存在下推自动机 $M$ 使得 $L = L(M)$。并且，$M$ 可以从 $G$ 在对数空间内计算得到，反之亦然。

3. 变换相关概念及操作

3.1 扩充下推自动机（Augmented pta）

在对树 $\xi \in T_{\Sigma}$ 在 pta $M$ 中的推导步数进行限制时，对于任意的 pta，找到相应的界限比较困难，这是因为存在不必要的推导步骤。例如，在某个 pta $M$ 中有如下推导：
$q(\gamma) \Rightarrow_M q_1(\delta\gamma) \Rightarrow_M q_2(\tau\delta\gamma) \Rightarrow_M q_3(\delta\gamma) \Rightarrow_M q_4(\gamma) \Rightarrow_M p(\varepsilon)$
其中，$q(\gamma) \Rightarrow^*_M q_4(\gamma)$ 这一步在某种意义上是不必要的。如果规则集 $R$ 中已经存在规则 $q(\gamma y) \to p(y)$，就可以避免这一步，直接得到 $q(\gamma) \Rightarrow_M p(\varepsilon)$。

形式上，如果对于任意的 $q_1, q_2, q_3 \in Q$ 和 $\gamma \in \Gamma$，满足 $q_1(\varepsilon) \Rightarrow_M q_2(\gamma) \Rightarrow_M q_3(\varepsilon)$，并且对于规则集 $R$ 中的每一个规则 $q_3(l) \to r$，规则 $q_1(l) \to r$ 也在 $R$ 中，那么称 pta $M$ 是扩充的。

引理 2

对于每一个 pta $M$，可以在多项式时间内构造出一个等价的扩充 pta $M’$。
证明步骤 ：
- 给定 pta $M$，定义 $M’ = (Q, \Sigma, \Gamma, q_0, R’)$，其中 $R’$ 由以下定点迭代得到。
- 初始时，令 $R’ = R$。
- 当存在 $q_1, q_2, q_3 \in Q$，$\gamma \in \Gamma$，以及 $(q_3(l) \to r) \in R’$，使得 $q_1(\varepsilon) \Rightarrow_{M’} q_2(\gamma) \Rightarrow_{M’} q_3(\varepsilon)$ 且 $(q_1(l) \to r) \notin R’$ 时，将 $(q_1(l) \to r)$ 插入到 $R’$ 中。
- 容易看出，每次迭代都保持 $L(M’) = L(M)$ 这个不变量。
- 算法终止后，$M’$ 显然是扩充的。
- 注意到，在终端字母表 $\Sigma$ 上的 pta 的最大规则数为 $O(|Q|^2 \cdot |\Gamma| + |\Sigma| \cdot |Q|^{m + 1})$，其中 $m$ 是 $\Sigma$ 中符号的最大秩。由于每次迭代都会添加一个规则，所以算法最终会终止。因为 $\Sigma$ 是固定的，所以迭代次数是输入的多项式。

没有不必要步骤的推导称为简洁推导。更精确地说，如果存在 $e_1 \in R^ _{\downarrow}$，$e_2 \in R^ {\uparrow}$，$\omega \in R {\Sigma}$，$k \in N$ 以及 $d_1, \cdots, d_k \in D_M$ 使得 $d = e_1e_2\omega d_1 \cdots d_k$，并且对于每个 $i \in [k]$，$d_i$ 都是简洁的，那么 $d \in D_M$ 是简洁的。

引理 3

设 $M$ 是扩充的，$q(\eta) \in C_M$，$\xi \in T_{\Sigma}$。如果 $q(\eta) \Rightarrow^* M \xi$，那么存在一个简洁推导 $d \in D {S_M}(q(\eta), \xi)$。

3.2 紧凑下推系统（Compact pts）

除了避免 pta $M$ 中的不必要步骤，还需要解决 $M$ 在其下推过程中过于冗长的问题。例如，在推导
$q(\varepsilon) \Rightarrow_M q’(\gamma) \Rightarrow_M q’‘(\delta\gamma) \Rightarrow_M \sigma \langle u(\delta\gamma), p(\delta\gamma) \rangle \Rightarrow^2_M \sigma \langle \alpha, p(\gamma) \rangle \Rightarrow_M \sigma \langle \alpha, p(\varepsilon) \rangle$
中，如果存在下推符号 $[\delta\gamma]$，使得
$q(\varepsilon) \Rightarrow_M q’‘([\delta\gamma]) \Rightarrow_M \sigma \langle u([\delta\gamma]), p([\delta\gamma]) \rangle \Rightarrow^2_M \sigma \langle \alpha, p(\varepsilon) \rangle$
则可以节省时间和空间，即减少推导步骤和下推单元。

下面定义紧凑下推系统 $M^{\sharp} = (Q, \Sigma, \Gamma^{\sharp}, q_0, R^{\sharp})$，其中 $\Gamma^{\sharp} = S(\Gamma) = {[\eta] | \eta \in \Gamma^+}$，$R^{\sharp}$ 包含以下规则：
- 对于每个 $\eta \in \Gamma^+$，如果 $q_1(\varepsilon) \Rightarrow_{r_1 \cdots r_k} M q_2(\eta)$ 且 $r_1, \cdots, r_k \in R_{\uparrow}$，则有规则 $q_1(y) \to q_2([\eta]y)$，记为 $[r_1 \cdots r_k]$。
- 对于每个 $\eta \in \Gamma^+$，如果 $q_1(\eta) \Rightarrow_{r_1 \cdots r_k} M q_2(\varepsilon)$ 且 $r_1, \cdots, r_k \in R_{\downarrow}$，则有规则 $q_1([\eta]y) \to q_2(y)$，记为 $[r_1 \cdots r_k]$。
- 对于每个规则 $\omega \in R_{\Sigma}$，规则 $[\omega]$ 与 $\omega$ 相同。

显然，$L(M^{\sharp}) = L(M)$。

为了进一步分析，引入了一些关于下推字细分的定义：
- 选择两个不在 $\Gamma$ 中的符号 ‘[’ 和 ‘]’，定义 $S(\Gamma) = {[\eta] | \eta \in \Gamma^+}$。
- 设 $\eta = \gamma_1 \cdots \gamma_n \in \Gamma^+$，给定 $k_0, \cdots, k_m \in N$ 且 $0 = k_0 < \cdots < k_m = n$，$\eta$ 的 $(k_0, \cdots, k_m)$ - 细分是 $[\gamma_{k_0 + 1} \cdots \gamma_{k_1}] \cdots [\gamma_{k_{m - 1} + 1} \cdots \gamma_{k_m}] \in S(\Gamma)^+$。
- $\varepsilon$ 的 $\varepsilon$ - 细分是 $\varepsilon$。
- 如果 $\eta’ \in S(\Gamma)^ $ 是 $\eta \in \Gamma^ $ 的某个 $E$ - 细分，则记为 $\eta’ \sqsubseteq \eta$，$E$ 是唯一的，记为 $E(\eta’)$。
- 定义 $\iota: \Gamma^ \to S(\Gamma)^ $ 为 $\iota(\varepsilon) = \varepsilon$ 且对于 $\eta \in \Gamma^+$，$\iota(\eta) = [\eta]$。
- 对于 $\eta \in \Gamma^ $ 和 $\eta’, \eta’’ \in S(\Gamma)^ $ 且 $\eta’, \eta’’ \sqsubseteq \eta$，如果 $E(\eta’) \supseteq E(\eta’‘)$，则记为 $\eta’ \sqsubseteq \eta’‘$。
- 记 $E(\kappa) = E(\eta’) \cup E(\eta’‘)$ 的唯一 $\kappa \sqsubseteq \eta$ 为 $\eta’ \sqcap \eta’‘$，且 $|\eta’ \sqcap \eta’‘| \leq |\eta’| + |\eta’‘| - 1$（当 $\eta \in \Gamma^+$ 时），当 $\eta = \varepsilon$ 时，$|\eta’ \sqcap \eta’‘| = |\eta’| + |\eta’‘| = 0$。

引理 4

设 $q, p \in Q$，$\eta \in \Gamma^ $，$d \in R^ $，且 $d’ \sqsubseteq d$，$\eta’ \sqsubseteq \eta$。
- 如果 $d \in R^ {\downarrow}$ 且 $q(\eta) \Rightarrow_d M p(\varepsilon)$，那么 $q(\eta’) \Rightarrow {d’} M^{\sharp} p(\varepsilon)$ 当且仅当 $E(\eta’) = E(d’)$。
- 如果 $d \in R^ {\uparrow}$ 且 $q(\varepsilon) \Rightarrow_d M p(\eta)$，那么 $q(\varepsilon) \Rightarrow {d’} M^{\sharp} p(\eta’)$ 当且仅当 $E(\tilde{\eta}’) = E(d’)$。

还定义了受限推导模式：设 $\mu \in N$，$\zeta \in D_{F_M}$，如果 $\zeta$ 中不存在长度大于 $\mu$ 的下推字 $\kappa \in \Gamma^*$，则称 $\zeta$ 具有 $\mu$ - 有界下推。

引理 5

设 $M$ 是扩充的，$q(\eta) \in C_M$，$\eta’ \sqsubseteq \eta$，$d \in D_{S_M}$，$d’ \sqsubseteq d$，$\xi \in T_{\Sigma}$，$\mu \in N$ 且 $q(\eta) \Rightarrow_d M \xi$，$q(\eta’) \stackrel{(\mu)}{==\Rightarrow} {d’} M^{\sharp} \xi$。对于每个 $\eta’’ \sqsubseteq \eta’$，存在 $d’’ \sqsubseteq d’$ 使得 $q(\eta’‘) \stackrel{(\mu’)}{==\Rightarrow} {d’‘} M^{\sharp} \xi$，其中 $\mu’ = \mu + |\eta’‘| - |\eta’|$。

引理 6

设 $M$ 是扩充的，对于每个 $q(\eta) \in C_M$，$\xi \in T_{\Sigma}$ 和 $d \in D_{S_M}(q(\eta), \xi)$，存在 $\eta’ \sqsubseteq \eta$ 和 $d’ \sqsubseteq d$ 使得 $q(\eta’) \stackrel{(\mu(\xi))}{==\Rightarrow}_{d’} M^{\sharp} \xi$，其中 $\mu(\xi) = 2 \cdot |\xi|$。

引理 7

设 $M$ 是扩充的，对于每个 $\xi \in L(M)$，存在一个推导 $d’ \in D_{M^{\sharp}}(q_0(\varepsilon), \xi)$ 使得 $|d’| \leq \mu(\xi)^2 + \mu(\xi)$。

3.3 用有限对象表示 $M^{\sharp}$

最后，介绍如何从 $M$ 构造 $M^{\sharp}$ 的有限表示 $M^{\dagger}$。
设 $\Gamma^{\dagger} = P(Q \times Q)$，定义映射 $h: \Gamma \to \Gamma^{\dagger}$ 为对于每个 $\gamma \in \Gamma$，$h(\gamma) = {(q, p) | q(\gamma y) \to p(y) \text{ 在 } R \text{ 中}}$。
定义 $M^{\dagger} = (Q, \Sigma, \Gamma^{\dagger}, q_0, R^{\dagger})$，其中 $R^{\dagger}$ 是满足以下条件的最小集合 $R’$：
- $R_{\Sigma} \subseteq R’$。
- 对于 $R$ 中的每个规则 $q(y) \to p(\gamma y)$，规则 $q(y) \to p(h(\gamma) y)$ 在 $R’$ 中。
- 当 $q(y) \to p(U y)$ 和 $p(y) \to u(V y)$ 在 $R’$ 中时，规则 $q(y) \to u((V \circ U) y)$ 也在 $R’$ 中。
- 对于每个 $U \in \Gamma^{\dagger}$ 和 $(q, p) \in U$，规则 $q(U y) \to p(y)$ 在 $R’$ 中。

引理 8

对于每个 $n, \mu \in N$，$q(\eta) \in C_{M^{\sharp}}$ 和 $\xi \in T_{\Sigma}$，有 $q(\eta) \stackrel{(\mu)}{==\Rightarrow}_n M^{\sharp} \xi$ 当且仅当 $q(h(\eta)) \stackrel{(\mu)}{==\Rightarrow}_n M^{\dagger} \xi$。

3.4 非确定性决策过程

以下是用于统一成员问题的非确定性决策过程：

Algorithm 1. Nondeterministic decision procedure for uniform membership
Input: pta M = (Q, Σ, Γ, q0, R), ξ ∈TΣ
Output: “Yes” if ξ ∈L(M), diverges otherwise
ζ ←q0(ε)
loop
    select leftmost w ∈pos(ζ) such that ζ(w) = q(η) for some q(η) ∈CM†
    either
        choose a rule q(y) →σ(p1(y), . . . , pk(y)) ∈R
        ζ ←ζ[σ(p1(η), . . . , pk(η))]w
    or
        choose a rule q(y) →p(γy) ∈R and set u ←p, U ←h(γ)
        repeat n times for some n ∈N
            choose a rule u(y) →v(γy) ∈R and set u ←v, U ←h(γ) ◦U
        end repeat
        ζ ←ζ[u(Uη)]w
    or if η = Uκ for some U ∈Γ†, κ ∈Γ ∗
        choose some (u, p) ∈U such that u = q
        ζ ←ζ[p(κ)]
    end either
    if ζ = ξ then return “Yes” else if ζ ∈TΣ then diverge endif
end loop

4. 统一成员问题复杂度分析

4.1 上界

定理 1

上下文无关树文法在 $\Sigma$ 上的统一成员问题属于 PSPACE。
证明步骤 ：
- 设 $\xi \in T_{\Sigma}$，$G$ 是 $\Sigma$ 上的上下文无关树文法。构造一个扩充的 pta $M = (Q, \Sigma, \Gamma, q_0, R)$ 使得 $L(M) = L(G)$，根据引理 1 和 2，这需要多项式时间（因此也是多项式空间）。
- 算法 1 是一个非确定性过程，它在空间限制为 $2 \cdot |\xi|^2 \cdot |Q|^2$ 内决定 $\xi \in L(M)$。
- 该过程通过模拟上述构造的紧凑 pta $M^{\dagger}$ 中的推导 $d’$ 来工作，推导 $d’$ 是“即时”构造的。
- 在每次循环中，选择当前推导形式 $\zeta$ 中最左边的配置 $q(\eta)$，并选择一个规则 $\rho$。可以选择 $\rho$ 为 $M^{\dagger}$ 的停留或弹出规则，然后应用于 $q(\eta)$。也可以选择非零数量的具有兼容状态的 $M$ 的推入规则，对它们推入的符号应用 $h$，并通过二元关系的乘积组合结果。
- 如果 $\xi \in L(M)$，则存在一个简洁推导 $d \in D_{S_M}(q_0(\eta), \xi)$，并且根据引理 6 和 8，存在一个在 $M^{\dagger}$ 中的推导 $d’ \sqsubseteq d$ 具有 $(2 \cdot |\xi|)$ - 有界下推。
- 每个在 $d’$ 中出现的下推符号是 $Q \times Q$ 的子集，因此可以在空间 $|Q|^2$ 内存储。由于 $d$ 的中间推导形式 $\zeta$ 中出现的配置数量受 $|\xi|$ 限制，所以空间界限 $2 \cdot |\xi|^2 \cdot |Q|^2$ 足以存储 $\zeta$。根据相关定理，该过程也可以在关于 $|\xi|$ 和 $|M|$ 的多项式确定性空间内计算。

4.2 下界

定理 2

上下文无关树文法在 $\Sigma$ 上的统一成员问题是 PSPACE - 难的。
证明思路 ：
通过将确定性有限状态自动机的交集问题的补问题归约到上下文无关树文法的统一成员问题。确定性有限状态自动机的交集问题是 PSPACE - 完全的，由于 PSPACE = coPSPACE，所以上下文无关树文法的统一成员问题是 PSPACE - 难的。
具体构造一个 pta $M$，它在其下推上猜测某个 $w \in \Delta^*$，根据需要多次复制它（通过具有至少二元秩的某个符号 $\sigma$ 的停留规则），然后在相应的副本上模拟自动机 $A_1, \cdots, A_k$。如果 $A_i$ 接受 $w$，$M$ 在第 $i$ 个分支上输出某个符号 $\alpha$，否则阻塞。这样，寻找 $w \in \bigcap_{i = 1}^k L(A_i)$ 的问题就归约为某个与 $w$ 无关的树 $\xi \in T_{\Sigma}$ 是否属于 $L(M)$ 的问题。

5. 总结

通过对下推自动机进行扩充、构造紧凑下推系统以及用有限对象表示等一系列变换，对上下文无关树文法的统一成员问题进行了深入分析，得出该问题属于 PSPACE 且是 PSPACE - 难的结论。这些结论对于理解上下文无关树文法的复杂性以及相关算法的设计具有重要意义。

5.1 流程图总结

graph TD;
    A[输入 cftg G] --> B[构造 pta M];
    B --> C[构造扩充 pta M'];
    C --> D[构造紧凑 pts M^#];
    D --> E[构造有限表示 M^†];
    E --> F[判断统一成员问题];

5.2 关键结论总结

结论	描述
引理 1	存在 cftg G 与 pta M 使得语言相等，且可相互对数空间计算
引理 2	可在多项式时间内构造扩充 pta M’
引理 3	扩充 pta 中存在简洁推导
引理 4 - 7	关于紧凑 pts M^# 的推导性质
引理 8	M^# 与 M^† 的关系
定理 1	统一成员问题属于 PSPACE
定理 2	统一成员问题是 PSPACE - 难的

6. 统一成员问题复杂度分析的深入探讨

6.1 复杂度结果的意义

上下文无关树文法的统一成员问题属于 PSPACE 且是 PSPACE - 难的这两个结论，为相关领域的研究和应用提供了重要的理论基础。

从理论研究角度来看，确定该问题的复杂度有助于我们更清晰地理解上下文无关树文法的表达能力和计算难度。PSPACE 复杂度表明，解决该问题所需的空间资源在输入规模的多项式范围内，但可能需要指数级的时间。这使得我们在设计算法时，需要在时间和空间复杂度之间进行权衡。

在实际应用方面，比如在自然语言处理、程序分析等领域，上下文无关树文法常被用于描述语言结构和程序语法。知道统一成员问题的复杂度后，开发者可以更好地评估算法的可行性和性能。如果一个应用场景对时间和空间资源有严格限制，那么在使用上下文无关树文法时就需要谨慎考虑。

6.2 复杂度分析中的关键步骤和技术

在证明统一成员问题的复杂度过程中，采用了一系列关键步骤和技术，下面对这些进行详细分析。

6.2.1 下推自动机的变换

• 扩充下推自动机 ：通过引理 2 将普通的下推自动机转换为扩充下推自动机，避免了不必要的推导步骤，使得推导更加简洁。这一步骤为后续的分析提供了更清晰的推导序列，便于证明简洁推导的存在性（引理 3）。
• 构造紧凑下推系统 ：为了解决下推过程冗长的问题，构建了紧凑下推系统 $M^{\sharp}$。通过定义新的下推符号和规则，使得推导过程更加高效，减少了时间和空间的消耗。引理 4 - 7 进一步阐述了 $M^{\sharp}$ 的推导性质，为后续证明推导的长度和下推大小的多项式界限提供了依据。
• 用有限对象表示 ：将无限的 $M^{\sharp}$ 用有限的 $M^{\dagger}$ 表示，使得问题能够在有限的资源下进行处理。引理 8 建立了 $M^{\sharp}$ 与 $M^{\dagger}$ 的关系，保证了在 $M^{\dagger}$ 上进行的推导与 $M^{\sharp}$ 上的推导等价。

6.2.2 推导的模拟和空间分析

在证明统一成员问题属于 PSPACE 时，算法 1 通过模拟紧凑 pta $M^{\dagger}$ 中的推导来判断成员关系。在模拟过程中，对推导形式的存储和规则的选择进行了精细的控制，使得整个过程的空间复杂度限制在 $2 \cdot |\xi|^2 \cdot |Q|^2$ 内。这一过程体现了如何通过合理的算法设计，将复杂的推导过程在多项式空间内完成。

6.3 复杂度结果对算法设计的启示

基于上述复杂度分析，在设计解决统一成员问题的算法时，可以考虑以下几点：

• 空间优化 ：由于问题属于 PSPACE，在设计算法时应优先考虑空间的优化。可以采用一些空间压缩技术，如对下推符号的存储进行优化，减少不必要的中间结果的存储。
• 时间 - 空间权衡 ：虽然理论上可以在多项式空间内解决该问题，但可能需要指数级的时间。因此，在实际应用中，需要根据具体的需求和资源限制，在时间和空间复杂度之间进行权衡。例如，可以采用一些启发式算法，在一定程度上牺牲空间复杂度来换取时间上的优化。

7. 统一成员问题复杂度分析的应用场景

7.1 自然语言处理

在自然语言处理中，上下文无关树文法常用于描述句子的语法结构。统一成员问题的复杂度分析可以帮助我们评估不同语法分析算法的性能。例如，在解析一个句子是否符合某种语法规则时，可以根据复杂度分析结果选择合适的算法。如果对时间要求较高，可以选择一些近似算法，但可能会牺牲一定的准确性；如果对准确性要求较高，则可以选择基于完整推导的算法，但需要考虑空间和时间资源的消耗。

7.2 程序分析

在程序分析领域，上下文无关树文法可用于描述程序的语法结构。统一成员问题的复杂度分析有助于我们判断一个程序是否符合某种语法规范。例如，在编译器的前端，需要对源代码进行语法分析。通过了解该问题的复杂度，编译器开发者可以选择合适的分析算法，提高编译效率。

7.3 知识图谱

在知识图谱的构建和查询中，上下文无关树文法可以用于描述知识的结构和关系。统一成员问题的复杂度分析可以帮助我们评估知识图谱查询算法的性能。例如，在查询一个知识图谱是否包含某种特定的知识结构时，可以根据复杂度分析结果选择合适的查询算法，避免因复杂度过高而导致查询效率低下。

8. 未来研究方向

8.1 算法优化

虽然已经确定了统一成员问题的复杂度，但目前的算法可能还存在进一步优化的空间。未来的研究可以集中在设计更高效的算法，降低时间和空间复杂度。例如，可以探索一些新的算法技术，如并行计算、随机化算法等，来提高算法的性能。

8.2 扩展上下文无关树文法

可以考虑对上下文无关树文法进行扩展，研究扩展后的文法的统一成员问题复杂度。例如，引入一些新的规则或约束条件，观察复杂度的变化。这有助于我们更深入地理解上下文无关树文法的表达能力和计算难度。

8.3 与其他领域的交叉研究

上下文无关树文法的统一成员问题复杂度分析可以与其他领域进行交叉研究。例如，与机器学习、人工智能等领域结合，探索如何利用机器学习技术优化上下文无关树文法的分析算法，或者如何将上下文无关树文法应用于机器学习模型的解释和验证。

9. 总结与展望

9.1 总结

本文围绕上下文无关树文法的统一成员问题复杂度分析展开，详细介绍了相关的基本概念、变换技术和证明过程。通过将下推自动机进行扩充、构造紧凑下推系统和有限表示，证明了该问题属于 PSPACE 且是 PSPACE - 难的。同时，探讨了复杂度结果的意义、对算法设计的启示以及在不同领域的应用场景。

9.2 展望

未来，随着计算机技术的不断发展和研究的深入，上下文无关树文法的统一成员问题复杂度分析有望在更多领域得到应用和拓展。通过不断优化算法、扩展文法和开展交叉研究，我们可以更好地解决实际问题，推动相关领域的发展。

9.3 关键步骤流程图

graph TD;
    A[输入问题] --> B[构造下推自动机];
    B --> C[扩充自动机];
    C --> D[构造紧凑系统];
    D --> E[构造有限表示];
    E --> F[模拟推导判断成员关系];
    F --> G[得出复杂度结论];
    G --> H[应用于各领域];
    H --> I[探索未来研究方向];

9.4 未来研究方向总结

研究方向	描述
算法优化	设计更高效算法，降低时间和空间复杂度
扩展文法	研究扩展后的文法的复杂度
交叉研究	与其他领域结合，拓展应用场景