27、半群上有限状态转换器的等价性检查问题

半群上有限状态转换器的等价性检查问题

有限状态转换器在许多领域都有广泛的应用，比如计算语言学和基于模型的测试等。在软件工程中，它可以作为各种设备驱动程序的形式化模型，用于处理字符串、转换图像、过滤数据流和插入指纹等。本文将介绍一种统一的技术，用于有效检查半群上有限状态转换器的功能性、k 值性、等价性和包含性。

1. 引言

有限状态转换器是有限状态自动机的扩展，用于对字符串或列表上的函数进行建模。它可以作为顺序反应式程序的简单模型，这些程序与环境进行交互，不断接收数据并执行一系列操作，最终输出计算结果。

例如，一个无线电控制的机器人在地球表面移动，它可以在四个方向（N、E、S、W）上进行单步移动。当机器人在状态 q 接收到控制信号 syg 时，它必须选择并执行一系列步骤（如 N、N、W、S），然后进入下一个状态 q′。在某些特定状态 qfin 下，机器人会报告其当前位置。这种机器人的设计和行为分析可以使用在秩为 2 的自由阿贝尔群上运行的非确定性有限状态转换器作为最简单的计算模型。

经典转换器的等价性检查问题研究始于 60 年代初。研究发现，非确定性转换器的等价性检查问题是不可判定的，特别是在无界转换的情况下，即一个输入单词可能有任意多个图像。后来，研究人员开始关注有界值转换器，证明了可以在多项式时间内判定给定转换器对每个单词的图像基数是否有界，以及是否被给定整数 k 界定。同时，确定性、功能性（单值）和 k 值转换器的等价性检查问题也是可判定的。

本文提出了一种基于标记转换系统（LTS）的替代技术，用于分析半群上的有限状态转换器。通过将转换器与 LTS 关联起来，将转换器的等价性检查问题转化为 LTS 中拒绝节点的可达性检查问题。

2. 预备知识

• 有限状态自动机 ：给定一个有限字母表 A，A* 表示 A 上所有有限单词的集合。有限状态自动机 A 是一个 5 元组 ⟨A, Q, init, F, ϕ⟩，其中 Q 是有限状态集，init 是初始状态，F 是最终状态子集，ϕ 是转换关系。自动机 A 接受一个单词 w，如果存在一个状态序列 q0, q1, …, qn，使得 q0 = init，qn ∈ F，并且对于每个 i（1 ≤ i ≤ n），(qi - 1, ai, qi) ∈ ϕ 成立。A 的语言 L(A) 是 A 接受的所有单词的集合。
• 有限状态转换器 ：设 S = (B, ·, e) 是由元素集 B 生成的半群，且具有单位元素 e。有限状态转换器 π 是一个 6 元组 ⟨A, S, Q, q0, F, T⟩，其中 Q 是有限状态集，q0 是初始状态，F 是最终状态子集，T 是有限转换关系。T 中的四元组 (q, a, s, q′) 称为转换，记为 q a/s → q′。

转换器 π 在单词 w 上的运行是一系列转换的序列，运行过程中产生的半群元素 s 称为 w 的图像，(w, s) 称为运行的标签。Lab(π) 表示 π 实现的转换关系，即所有完整运行的标签 (w, s) 的集合。如果至少有一个完整运行经过某个状态 q，则称 q 是有用的。本文假设所考虑的转换器的所有状态都是有用的，这种转换器称为修剪转换器。

如果对于每个字母 a 和状态 q，集合 T 中最多有一个形式为 q a/s → q′ 的转换，则称转换器 π 是确定性的。如果对于每个输入单词 w，转换关系 Lab(π) 中最多有 k 个形式为 (w, s) 的标签，则称转换器 π 是 k 值的。1 值转换器也称为功能性转换器。如果 Lab(π′) = Lab(π′′)，则称转换器 π′ 和 π′′ 是等价的。

在后续内容中，假设所考虑的转换器在一个有限生成的可判定群 G 上运行，即存在一个算法可以检查 G 的生成元中的两个单词是否表示同一个元素。对于元素 s，s⁻ 表示其在 G 中的逆元素。

3. 确定性转换器的等价性检查

设 π = ⟨A, G, Q, q0, F, T⟩ 和 π′ = ⟨A, G, Q′, q′0, F ′, T ′⟩ 是有限生成可判定群 G 上的确定性转换器。为了检查它们的等价性，定义标记转换系统（LTS）Γ₀π,π′ = ⟨Q × Q′ × G, ⇒⟩。

LTS 的节点是形式为 (q, q′, g) 的三元组，其中 q ∈ Q，q′ ∈ Q′，g ∈ G，g 称为到达状态 q 和 q′ 的初始运行的“不足”。

转换关系 ⇒ 定义如下：对于任意两个节点 v1 = (q1, q′1, g1) 和 v2 = (q2, q′2, g2)，以及任意字母 a，v1 a⇒ v2 成立当且仅当 q1 a/s → q2 和 q′1 a/s′ → q′2 分别是 π 和 π′ 中的转换，并且 g2 = s⁻g1s′。

如果存在一个单词 w = a1a2 … an 和节点对 v = (q1, q′1, g1) 和 u = (q2, q′2, g2)，使得 v w⇒ u 成立，则表示存在一个从 v 到 u 的路径，且 u 可从 v 到达。

节点 vsrc = (q0, q′0, e) 是 Γ₀π,π′ 的源节点，V₀π,π′ 表示在 LTS Γ₀π,π′ 中可从 vsrc 到达的节点集合。如果一个节点 (q, q′, g) 满足以下至少一个条件，则称其为拒绝节点：
1. q 和 q′ 都是 π 和 π′ 的最终状态，且 g ≠ e；
2. q 或 q′ 中恰好有一个是最终状态；
3. 对于某个字母 a，q 或 q′ 中只有一个有 a 转换，而另一个没有。

拒绝节点的集合记为 R₀π,π′。

引理 1 ：确定性转换器 π 和 π′ 等价当且仅当 V₀π,π′ ∩ R₀π,π′ = ∅。

引理 2 ：如果 V₀π,π′ 包含一对节点 v1 = (q, q′, g1) 和 v2 = (q, q′, g2)，且 g1 ≠ g2，则 V₀π,π′ ∩ R₀π,π′ ≠ ∅。

根据引理 1 和 2，要检查确定性修剪转换器 π 和 π′ 的等价性，只需分析从 LTS Γ₀π,π′ 的源节点可达的最多 |Q||Q′| + 1 个节点。

定理 1 ：有限生成可判定群 G 上确定性转换器的等价性问题是可判定的。此外，如果 G 的单词问题可以在多项式时间内判定，则该等价性问题也可以在多项式时间内判定。

4. 功能性转换器的检查

为了检查转换器 π = ⟨A, G, Q, q0, F, T⟩ 的功能性，同样利用 LTS。定义 LTS Γ₁π,π′ = ⟨Q × Q′ × G, ⇒⟩，对于任意两个节点 v1 = (q1, q′1, g1) 和 v2 = (q2, q′2, g2)，以及任意字母 a，v1 a⇒ v2 成立当且仅当存在转换 q1 a/s → q2 和 q′1 a/s′ → q′2，使得 g2 = s⁻g1s′，并且 L(Aπ[q2]) ∩ L(Aπ′[q′2]) ≠ ∅。

Γ₁π,π′ 中从源节点 (q0, q0, e) 可达的所有节点的集合记为 V₁π,π′。如果 q1 和 q2 是最终状态，且 g ≠ e，则称 (q1, q2, g) 为拒绝节点，拒绝节点的集合记为 R₁π,π′。

引理 3 ：转换器 π 是功能性的当且仅当 V₁π,π ∩ R₁π,π = ∅。

引理 4 ：如果 V₁π,π 包含一对节点 v1 = (q, p, g1) 和 v2 = (q, p, g2)，且 g1 ≠ g2，则 V₁π,π ∩ R₁π,π ≠ ∅。

根据引理 3 和 4，要检查转换器 π 的功能性，只需分析从 Γ₁π,π 的源节点可达的最多 |Q|² + 1 个节点。

定理 2 ：有限生成可判定群 G 上转换器的功能性可以有效检查。此外，如果 G 的单词问题可以在多项式时间内判定，则功能性检查也可以在多项式时间内执行。

功能性转换器 π 和 π′ 的等价性也可以通过 LTS Γ₁π,π′ 进行检查，但需要预先检查 L(Aπ[q0]) = L(Aπ′[q′0])，因为与确定性转换器不同，Γ₁π,π′ 中只有一个状态 q1 或 q2 是最终状态的节点不能被视为拒绝节点。

引理 5 ：如果 L(Aπ[q0]) = L(Aπ′[q′0])，则功能性转换器 π 和 π′ 等价当且仅当 V₁π,π′ ∩ R₁π,π′ = ∅。

引理 6 ：如果 V₁π,π′ 包含一对节点 v1 = (q, q′, g1) 和 v2 = (q, q′, g2)，且 g1 ≠ g2，则 V₁π,π′ ∩ R₁π,π′ ≠ ∅。

定理 3 ：有限生成可判定群 G 上功能性转换器的等价性问题是可判定的。此外，如果 G 的单词问题可以在多项式时间内判定，则功能性转换器的等价性问题是 PSPACE 完全的。

5. 2 值性转换器的检查

前面介绍的基于 LTS 的技术可以进一步扩展到 k 值转换器的分析。为了清晰起见，这里详细考虑 k = 2 的情况，对于任意 k 值的有限状态转换器，只需进行更复杂的组合分析即可得到一般解决方案。

给定一个转换器 π = ⟨A, G, Q, q0, F, T⟩，定义 LTS Γ₂π = ⟨Q × (Q × G)², ⇒⟩。对于任意两个节点 v1 = (q1, (q2, g12), (q3, g13)) 和 v2 = (q′1, (q′2, g′12), (q′3, g′13))，以及字母 a，v1 a⇒ v2 发生当且仅当存在转换 q1 a/s1 → q′1，q2 a/s2 → q′2，和 q3 a/s3 → q′3，使得 g′12 = s₁⁻g12s2 和 g′13 = s₁⁻g13s3 成立，并且 L(Aπ[q′1]) ∩ L(Aπ[q′2]) ∩ L(Aπ[q′3]) ≠ ∅。

三元组 (q1, q2, q3) 称为节点 (q1, (q2, g12), (q3, g13)) 的类型。与 1 值性情况类似，V₂π 表示在 LTS Γ₂π 中从源节点 (q0, (q0, e), (q0, e)) 可达的所有节点的集合。

拒绝节点的集合 R₂π 包括所有满足 q1, q2, q3 是最终状态，且 g ≠ e，h ≠ e，g ≠ h 的节点 (q1, (q2, g), (q3, h))。

引理 7 ：转换器 π 是 2 值的当且仅当 V₂π ∩ R₂π = ∅。

为了减少搜索拒绝节点的空间，有以下两个引理：

引理 8 ：假设 V₂π 包含四个相同类型的节点 vi = (q, (q′, g′i), (q′′, g′′i))（1 ≤ i ≤ 4），使得对于任意一对索引 i, j（1 ≤ i < j ≤ 4），不等式 g′i ≠ g′j，g′′i ≠ g′′j，以及 g′i(g′′i)⁻ ≠ g′j(g′′j)⁻ 成立，则 V₂π ∩ R₂π ≠ ∅。

引理 9 ：设 vi = (q, (q′, g′i), (q′′, g′′i))（1 ≤ i ≤ 4）是 LTS Γ₂π 中四个两两不同的节点，满足以下条件之一：
a) 对于任意一对 i, j（1 ≤ i < j ≤ 4），g′i = g′j 成立；
b) 对于任意一对 i, j（1 ≤ i < j ≤ 4），g′′i = g′′j 成立；
c) 对于任意一对 i, j（1 ≤ i < j ≤ 4），(g′i)⁻g′′i = (g′j)⁻g′′j 成立。

如果从 v4 可达一个拒绝节点，则从 v1, v2, v3 中的某个节点也可达一个拒绝节点。

基于引理 7、8 和 9，可以证明以下定理：

定理 4 ：如果 G 是有限生成可判定群，则转换器在 G 上的 2 值性是可判定的。

具体的检查过程是通过深度优先搜索拒绝节点来实现的，具体步骤如下：
1. 从源节点 (q0, (q0, e), (q0, e)) 开始搜索，只跟踪有用节点。
2. 当搜索到达一个未访问过的节点 v = (q, (q′, g′), (q′′, g′′)) 时，有以下四种情况：
- 如果 v 是拒绝节点，则搜索停止，宣布 π 不是 2 值的。
- 否则，检查是否存在 3 个之前访问过的有用节点 vi = (q, (q′, g′i), (q′′, g′′i))（1 ≤ i ≤ 3），它们与 v 类型相同，并且满足以下条件之一：
- 对于每个 i（1 ≤ i ≤ 3），g′ = g′i；
- 对于每个 i（1 ≤ i ≤ 3），g′′ = g′′i；
- 对于每个 i（1 ≤ i ≤ 3），(g′)⁻g′′ = (g′i)⁻g′′i。
如果满足上述条件，则将 v 视为无用节点，进行回溯。
- 否则，如果已经访问过 27 个与 v 类型相同的有用节点 vi = (q, (q′, g′i), (q′′, g′′i))（1 ≤ i ≤ 27），则搜索停止，宣布 π 不是 2 值的。
- 否则，将节点 v 视为有用节点，继续进行深度优先搜索。
3. 如果搜索最终回溯到源节点，则认定 π 是 2 值的。

搜索过程总是在访问最多 27|Q|³ 个 Γ₂π 的有用节点后终止。引理 9 保证跳过无用节点不会错过到达拒绝节点的可能路径，从而证明了搜索的完整性。简单的组合分析表明，如果有 28 个节点（v 和 vi，1 ≤ i ≤ 27），且其中没有 4 个节点满足引理 9 的前提条件（即节点是有用的），则这组节点中包含一个满足引理 8 假设的四元组节点，从而证明了搜索的正确性。

推论 1 ：如果群 G 的单词问题可以在多项式时间内判定，则转换器在 G 上的 2 值性可以在多项式时间内检查。

引理 8、9 以及定理 4 中定义的决策过程可以很容易地扩展到任意 k 的情况。LTS Γ₂π 的节点变为 (k + 1) 元组 (q0, (q1, h1), …, (qk, hk))，为了证明 Γ₂π 中拒绝节点的可达性，最多只需访问 ⁿ⁺¹₂( ⁿ⁺¹₂ )|Q|ᵏ⁺¹ + 1 个有用节点。

综上所述，本文提出的基于 LTS 的技术为半群上有限状态转换器的等价性、功能性和 k 值性检查提供了一种有效的方法，并且在一定条件下可以在多项式时间内完成检查。这种方法避免了对转换器进行预处理（分解），并且不依赖于转换器内部结构的特定特征，具有较好的通用性和实用性。

半群上有限状态转换器的等价性检查问题

6. 技术优势与应用场景

本文提出的基于 LTS 的技术具有显著优势，使其在多个领域具有广泛的应用前景。

6.1 技术优势

• 无需预处理 ：与传统方法不同，该技术不需要对要分析的转换器进行预处理（如分解），可以直接应用于任何给定的转换器，简化了分析流程。
• 不依赖内部结构 ：检查过程不依赖于转换器内部结构的特定特征，如强连通分量分析等，仅通过对 LTS 中拒绝节点的深度优先搜索来完成检查，降低了分析的复杂度。

6.2 应用场景

• 软件设计与测试 ：在软件工程中，有限状态转换器可作为各种设备驱动程序的形式化模型。通过检查转换器的等价性、功能性和 k 值性，可以提高软件设计、测试、验证和维护的效率。
• 计算语言学 ：在自然语言处理中，转换器可用于处理字符串和语言模型。该技术可以帮助分析和验证这些转换器的正确性，提高语言处理的准确性。

7. 复杂度分析

本文所提出的方法在不同情况下具有不同的复杂度，以下是具体的分析：

转换器类型	等价性检查复杂度	功能性检查复杂度	k 值性检查复杂度
确定性转换器	若 G 的单词问题可在多项式时间内判定，则等价性问题也可在多项式时间内判定	-	-
功能性转换器	若 G 的单词问题可在多项式时间内判定，则等价性问题是 PSPACE 完全的	若 G 的单词问题可在多项式时间内判定，则功能性检查可在多项式时间内执行	-
k 值转换器（以 k = 2 为例）	-	-	若 G 的单词问题可在多项式时间内判定，则 2 值性检查可在多项式时间内完成

从上述表格可以看出，在 G 的单词问题可在多项式时间内判定的情况下，大部分检查问题都可以在多项式时间或 PSPACE 复杂度内完成，这表明该方法具有较好的计算效率。

8. 总结与展望

本文介绍了一种基于标记转换系统（LTS）的统一技术，用于检查半群上有限状态转换器的等价性、功能性和 k 值性。通过将转换器与 LTS 关联起来，将检查问题转化为 LTS 中拒绝节点的可达性检查问题，避免了对转换器进行预处理和依赖其内部结构的特定特征，具有较好的通用性和实用性。

在复杂度方面，在一定条件下，该方法可以在多项式时间内完成检查，具有较高的计算效率。然而，对于更复杂的情况，如 k 值较大的 k 值转换器，可能需要进一步优化算法以提高效率。

未来的研究方向可以包括：
- 扩展应用领域 ：将该技术应用到更多领域，如人工智能、机器人控制等，进一步验证其有效性和实用性。
- 算法优化 ：针对更复杂的转换器和更大的 k 值，研究更高效的算法，降低计算复杂度。
- 理论拓展 ：深入研究半群和转换器的理论性质，为该技术提供更坚实的理论基础。

通过不断地研究和改进，相信该技术将在更多领域发挥重要作用，为相关领域的发展提供有力支持。

9. 流程图总结

下面是一个 mermaid 格式的流程图，总结了检查 2 值性转换器的主要流程：

graph TD;
    A[开始，从源节点 (q0, (q0, e), (q0, e)) 出发] --> B[到达未访问节点 v];
    B --> C{v 是否为拒绝节点};
    C -- 是 --> D[停止，宣布 π 不是 2 值的];
    C -- 否 --> E{是否存在 3 个满足条件的有用节点};
    E -- 是 --> F[将 v 视为无用节点，回溯];
    E -- 否 --> G{是否已访问 27 个同类型有用节点};
    G -- 是 --> H[停止，宣布 π 不是 2 值的];
    G -- 否 --> I[将 v 视为有用节点，继续搜索];
    I --> B;
    F --> B;
    D --> J[结束];
    H --> J;
    B --> K{是否回溯到源节点};
    K -- 是 --> L[认定 π 是 2 值的];
    K -- 否 --> B;
    L --> J;

这个流程图清晰地展示了检查 2 值性转换器的步骤，从开始搜索到最终判断转换器是否为 2 值，每个步骤都有明确的判断和处理方式，有助于读者理解整个检查过程。

综上所述，本文提出的基于 LTS 的技术为半群上有限状态转换器的分析提供了一种有效的方法，具有广阔的应用前景和进一步研究的价值。通过不断地优化和拓展，该技术有望在更多领域发挥重要作用。