11、利用关联矩阵的下块三角性质计算布尔函数的代数免疫度

利用关联矩阵的下块三角性质计算布尔函数的代数免疫度

1. 引言

在数学和计算机科学的多个领域，如组合数学、编码理论、密码学和多项式插值等，关联矩阵 (M_X^V) 是一个非常有趣的工具。其中，关联矩阵 (M_d^V) 在代数密码分析中具有重要作用，求解该矩阵的秩等同于计算布尔函数的代数免疫度（AI）。

从代数密码分析的角度来看，如果布尔函数 (f \in B_n) 的代数免疫度较低，那么它不适合用于设计密码系统。已知对于任意 (f \in B_n)，有 (AI(f) \leq \lceil\frac{n}{2}\rceil)。因此，一个好的设计目标是使用 (B_n) 中的 (f)，使得 (f) 和 (1 + f) 都没有次数远小于 (\lceil\frac{n}{2}\rceil) 的零化子。

2. 基本概念

2.1 向量空间和向量相关概念

• (V_n)：表示在二元域 (F_2 = {0, 1}) 上的 (n) 维向量空间。
• (wt(v))：向量 (v = (v_1, v_2, \ldots, v_n) \in V_n) 的权重，即 (wt(v) = |{v_i : v_i = 1}|)。
• (V_{n,d})：(V_n) 中权重小于等于 (d) 的向量集合，即 (V_{n,d} = {v \in V_n : wt(v) \leq d})。
• (u \subseteq v)：对于 (u = (u_1, u_2, \ldots, u_n), v = (v_1, v_2, \ldots, v_n) \in V_n)，当 (1 \leq i \leq n) 时