66、广义布尔矩阵乘法验证及其在检测小子图中的应用

广义布尔矩阵乘法验证及其在检测小子图中的应用

一、引言

在矩阵运算中，验证两个 $n×n$ 整数矩阵 $X$ 和 $Y$ 的乘积 $XY$ 是否等于给定矩阵 $Z$ 是一个常见问题。Freivalds 算法能以随机化的 $O(n^2)$ 时间完成这一验证，尽管已知最快的矩阵乘法算法时间复杂度为 $O(n^{2.3729})$。该算法已成为验证大规模矩阵乘法和一些计算线性代数问题正确性的重要工具，其错误来源可能包括软件漏洞、硬件逻辑错误、通信故障等。

不过，Freivalds 算法能否高效去随机化仍是未知问题。虽然所需随机比特数可从线性减少到对数，且失败概率能在不增加运行时间的情况下大幅降低，但如果矩阵 $Z$ 最多有 $k$ 个错误条目，这些条目可在确定性的 $\tilde{O}(kn^2)$ 时间内被识别和纠正，运行时间还可进一步减少到 $\tilde{O}(\sqrt{kn^2} + k^2)$。

二、广义布尔矩阵乘法

我们将乘积验证问题扩展到广义布尔矩阵乘法。设 $A$ 和 $B$ 是一对 $n×n$ 的布尔矩阵，对于矩阵 $C$，用 $c_{ij}$ 表示其第 $i$ 行和第 $j$ 列的元素。当 $C$ 为布尔矩阵时，$\overline{C}$ 表示其补矩阵，即 $\overline{c_{ij}}$ 为真当且仅当 $c_{ij}$ 为假。$[n]$ 表示集合 ${1, 2, \ldots, n}$，$A_i$ 是 $A$ 的第 $i$ 行中值为真的元素的索引集合，$B_j$ 是 $B$ 的第 $j$ 列中值为真的元素的索引集合。

标准布尔矩阵乘法 $C = AB$ 定义为：$c_{ij}$ 表示 $A_i$ 和 $B_j$