2、加权自动机学习：从理论到实践

加权自动机学习：从理论到实践

1. 加权自动机标准化

在处理加权自动机（WFA）的过程中，标准化是一个重要的步骤。标准化的目的是从一个表示有理函数 $f$ 的输入 WFA $A$ 计算出一个最小的 WFA $B$。
- 算法步骤 ：
1. 第一阶段 ：找到行向量 $(v_1, \ldots, v_m)$ 作为向量空间的基，该向量空间由 ${\alpha_{A}^{\top}A_w : w \in \Sigma^ }$ 生成，且对于任意 $j \in [1, m]$ 和 $a \in \Sigma$，$v_jA_a$ 都在 $(v_1, \ldots, v_m)$ 的张成空间内。具体构造时，从 $v_1 = \alpha_{A}^{\top}$ 开始，逐步扩充当前向量序列 $(v_1, \ldots, v_t)$。对于任意 $j \in [1, t]$ 和 $a \in \Sigma$，选择向量 $w$，若 $v_jA_a$ 与 $(v_1, \ldots, v_t)$ 线性相关，则 $w = 0$；否则，使 $(v_1, \ldots, v_t, w)$ 按分量顺序呈三角形式，并令 $v_{t + 1} = w$。同时，根据 $w$ 是否为 $0$ 计算 $v_jA_a$ 的分量。此阶段可定义一个与 $A$ 等价的 WFA $B’$，其状态数为 $\dim(\text{span}({\alpha_{A}^{\top}A_w : w \in \Sigma^ }))$。该阶段的时间复杂度为 $O(|\Sigma||Q_A|^3)$ 半环运算，因为每次迭代确定 $w$ 的复杂度为 $O(|\Sigma||Q_