19、量子计算中的振幅估计、量子计数与函数编码

量子计算中的振幅估计、量子计数与函数编码

1. 量子计算模式与振幅估计

量子计算有三种常见模式，分别是从概率分布中采样、搜索特定结果以及估计特定结果的概率。在估计特定结果概率方面，它类似于对总体样本进行民意调查。例如，若想了解即将到来的选举中各候选人的支持比例，无需询问全体民众，可通过小样本估算真实分布。

1.1 样本估计与 Hoeffding 不等式

可将大量结果用一个装有弹珠的箱子来直观表示，深色弹珠代表好结果，浅色弹珠代表坏结果。对于 $n$ 个量子比特，结果数量为 $2^n$，数量可能非常大。如 $n = 42$ 时，结果数量超万亿。无需使用所有结果，可用小样本估计深色和浅色弹珠的真实分布。样本越大，误差幅度越小。

根据 Hoeffding 不等式，样本中深色弹珠比例与真实比例偏差超过 $\epsilon > 0$ 的概率小于 $\frac{2e^{-2M\epsilon^2}}{}$，其中 $M$ 是样本数量。值得注意的是，只有样本大小 $M$ 影响该界限，与弹珠总数无关。若了解更多真实分布信息，可减少达到所需误差幅度的样本数量。

1.2 振幅估计算法

给定量子态，可通过重复测量来估计一组好结果的概率，但这可能需要大量测量。振幅估计算法可大幅减少测量次数，但需增加更多量子比特并进行更复杂的量子计算。

以下是振幅估计算法的具体步骤：
1. 准备一个 $n$ 量子比特寄存器（估计寄存器）用于测量以获得所需估计，以及一个 $m$ 量子比特寄存器（目标寄存器）用于应用电路 $A$。
2. 对目标寄存器应用电路 $A$，并对 $n$ 量子比特估计寄存器中的每个量子比特