16、量子振幅放大与计数算法详解

量子振幅放大与计数算法详解

1. 基础概念与舍入规则

在量子搜索算法中，我们常常会遇到一些数学运算和参数设置问题。首先，设 $\tilde{k}$ 满足 $(2\tilde{k} + 1)\theta = \frac{\pi}{2}$，并令 $k = \lfloor\tilde{k}\rfloor$。这里可以注意到 $(2k + 1)\theta = \frac{\pi}{2} + \varepsilon$，其中 $|\varepsilon| \in O(\frac{1}{\sqrt{N}})$。由此可得 $\sin(\frac{\pi}{2} + \varepsilon) = \cos(\varepsilon) \geq 1 - \frac{\varepsilon^2}{2} \in 1 - O(\frac{1}{N})$。

对于实数的舍入操作，我们使用标准符号 $\lceil x\rceil$ 表示将 $x$ 向上舍入到最近的整数，$\lfloor x\rfloor$ 表示将 $x$ 向下舍入到最近的整数，$[x]$ 表示将 $x$ 舍入到最近的整数（当 $x$ 恰好位于两个整数中间时，舍入到任意一个整数均可）。

在算法中，我们有时需要对像 $\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$、$\arcsin(\frac{1}{\sqrt{N}})$ 或 $N\sin^2(\frac{x}{M})$ 这样的实数 $x$ 进行舍入。不过，这并非计算瓶颈，因为所有需要舍入的函数都可以以精度 $\epsilon > 0$ 进行有效近似。也就是说，对于任意 $\epsilon > 0$，我们可以高效地计算出一个整数 $y$，使得 $y - \epsilon \leq x \l