17、量子计算中的概率分布编码与频率估计

量子计算中的概率分布编码与频率估计

1. 量子态中概率分布的编码

随机从概率分布中采样是量子计算近期最有前景的应用之一。通常，我们会准备一个包含 $n$ 个量子比特的量子态，其中每个结果的概率代表了分布的概率。不过，我们只能在量子态中编码离散概率，所以只能用离散化的版本来近似连续分布。

1.1 均匀分布的编码

均匀分布的编码很直接，只需对每个量子比特应用哈达玛门（Hadamard gate）。

1.2 其他分布的编码

许多其他问题中出现的分布在量子态中编码更为复杂。准备反映特定分布的量子态（即态制备）在量子计算中非常重要，也是当前活跃的研究领域。

1.3 正态分布的近似编码

钟形分布，如正态分布，在许多应用的计算中很重要，包括统计学、金融建模和机器学习。但在量子态中编码离散化的正态分布非常困难，在某些问题情境中，对正态分布的近似就足够了。下面介绍两种用 QFT 有效编码正态分布近似的方法。

1.3.1 升余弦分布

1961 年，Raab 和 Green 提出使用升余弦分布作为正态分布的近似，这种方法仅适用于可以忽略正态分布长尾的情况。

升余弦分布的概率密度函数如下：
当 $\mu - s \leq x \leq \mu + s$ 时，有对应函数值；当 $x$ 不在此范围时，函数值为 0。

为了在量子态中编码升余弦分布，我们借鉴数字信号处理的思想，使用精心选择的起始频率，这些频率可以从对应特定状态的信号的傅里叶系数中推导出来。对于升余弦分布，我们在对应结果 0 和结果 $2^{n - 1}$ 的振幅